Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
оболочки. ,
Заметим, что если в (6.19) функции <рь q>2 не* предполагать-изотропными,
то будет нарушен принцип материальной индиффе- ' рентности.
В. частности, для упругих оболочек определяющие уравнения: вида
у = ?1 feA. ЬА, В), Р = <Р2 (gA"-bA, в) (6j20)1
IV IV Л/ /V #4/ #4/ #41
•
удовлетворяют принципу материальной индифферентности тогда: и только
тогда, когда фь ф2 - изотропные функции. Для анизотропных упругих
оболочек, помимо указанных в (6.20) аргументов, тензоры v р р будут
зависеть еще и от тензора поворота
/41 #4i
поверхности.^
Частным случаем соотношений (6.19) являются определяющие уравнения
гипоупругой оболочки:
• V V
у = (V, р, В, 6, *), р == <р2 (v, р, В, е, х). (651)
- IV /V М IV #41 #41/41 #41 #4# #41 #41 #41
Своеобразие гипоупругих оболочек состоит в том, что соотно- ^ шения
(6.21) никак не завиеят от какой-либо отсчетной конфи- . гурации, т. е.
гипоупругая оболочка не имеет предпочтительного-состояния. в ¦
Определяющие соотношения для тензоров усилий и моментов не всегда
целесообразно выводить путем осреднения по толщине определяющего
уравнения трехмерной-сплошной средй, привлекая, кинематические и
статическую гипотезы, Кирхгофа - Лява.. Это обусловлено, с одной стороны,
тем, что для сложных нелинейных определяющих соотношений указанную
процедуру не удается выполнить в явнбм виде, а с другой стороны, тем, что
определяющие соотношения'трехмерных образцов часто бывают неизвестны, или
известны с низкой степенью точности. Кроме того, в процессе изготовления
(прокатка, поверхностное закаливание и т. д.) материал оболочки зачастую
претерпевает качественные изменения. Заметим еще,-что для некоторых видов
оболочек, например очень тонких биологических мембран, существующие
модели трехмерной сплошной среды вообще не при-
•W
/
ценимы, так как в этих случаях очень значительную роль играет -энергия
поверхностного натяжения [52].
Таким образом, в ряде случаев имеются серьезные основания. для прямого
двумерного подхода к построению определяющих? соотношений оболочек. Этот
подход должен состоять в сочетании экспериментальных методов (например,
испытаний двумер- J ных образцов - элементов оболочки) и теоретических
соображё-' ний, к -которым, в частности, можно отнести требования
материальной индифферентности, соображения материальной снимет^ рии, т.
е. учет типа анизотропии, применение методов теории размерностей.
Последнее связано с тем, что меры деформации, G1 и ,ВХ имеют разную
размерность, точно также, как различу
ны размерности, тензора усилий v и тензора моментов р. Оче*
видно, это. вызвано тем, что в записи определяющих соотноше3 ний в форме
(6.15) -неявно присутствует параметр, имеющий раз? мерность длины,-
толщина оболочки. '*
В механике сплошной среды, широкое применение находя! модели материалов с
внутренними связями [15, 47]. Под внуТ> ренними связями понимаются
ограничения в виде равенстГ накладываемые на возможные деформации
сплошной среды, то1! нее, на градиейТ деформации, который теперь уже не
являете произвольным неособым тензором. В частности, большое
распространение получила модель несжимаемого тела [ 15], в которо любая
часть тела не* меняет своего объема в процессе деформации. Предположение
о несжимаемости, во многих случаях сущ# ¦ственно облегчающее решение
краевых задач, является хороши!" приближением для сред, сопротивляющихся
сдвиговым дефор маДиям значительно слабее, чем изменению объема. ;
Для оболочек в некоторых случаях также целесообразно ис* пользовать
модели с внутренними связями. Например, оболочку* армированную достаточно
жесткими на растяжение (по сравне* нию со связующим материалом)
нитями, можно считать нерастя§|
жимой в направление нитей. ?
Так как определяющими параметрами для оболочки явля-1 зотся тензоры С и
D, уравнение связи следует принять в вид& ~ 1
f(C} D) = 0, (6,22):
"v IV
где f - некоторая скалярнозначная функция.
Связь, накладываемая иа возможные деформации оболочки, -есть внутреннее
свойетво материала, поэтому она не должна'за-* висеть от выбора
наблюдателя. Методом, использованным выше-
при'выводе определяющих соотношения в форме .(6.15), легко показать, что
уравнение связи (6.22) удовлетворяет принципу материальной
индифферентности' тогда и только тогда, когда оно сводится к следующему
виду:
<Р (О*. Вх) = 0.
Л/ • IV
Приведем некоторые примеры связей.
1. Нерастяжим"ая в заданном оболочка. Уравнение связи имеет вйд
do-Q^do - 1 = 0,- (6.24)
fV
- V
где ;, do - единичный вектор, касательный к поверхности оболочки в ее
отсчетной конфигурации. Уравнение (6.24) означает" что
* *
материальные волокна, расположенные вдоль вектора do, не меняют своей
длины при деформации оболочки. В .общем случае .
вектор do может зависеть от координат на поверхности.
2. Оболочка, для которой п лощадь ji юбой ч а-с.ти поверхности не
меняется при деформации.^ Уравнение связи имеет вид ' ' -
det G* = Q/g = 1. (6.25)
- /V
t
3. НерастяиСимая во всех направлениях .обо-
