Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
ра у, SP, б'Р- произвольные вариации радиуса-вектора дефор-i
мированного контура, совместимые со связями, наложенными наг
контурные значения перемещений поверхности. Условие (5.16);
в рассматриваемом нами случае запишется так: *
j[(dl' V/dS X ?)•№ -f (dP/dSX S'?)•&?]<? =
- Jw b*ldS X P) •&' P + (дР/dS X 8РИ' ?! dS. i
Г .. .
Это соотношение можно преобразовать к следующему про* стому виду: v
(8PX8'P)-dP = 0, (5.18)
У 'fp
или в эквивалентной форме: |
J [(8ц X Ъ' u)(r+ ~)]dS==?0, * ^. (5,19)'
. Т V
Здесь u = Р-р - вектор перемещения, т - единичный вектор касательной к
контуру у. ;•
Соотношение (5.18) (или эквивалентное ему (5.19)) представ^ ляет собой
условие на краевые значения перемещений оболочки^ необходимое и
достаточное для того, чтобы равномерно распре** деленное по
поверхности.ободочки следящее давление было кон-;; сервативной нагрузкой;
i
Рассмотрим некоторые примеры приложения условия (5.18)."
"" ' -+ f
Если на граничном контуре перемещения заданы, то 6Р=6/Р=(К и условие
(5.18), очевидно, выполняется. Гидростатическая на-i грузка в этом случае
имеет потенциал, определяемый формулой;
Э -7-pJJ N-p dOW- р JJ (Р, X Р2)-Р dq1 dq2. (5.20)"
т
Если граничный контур или его часть свободны от закрепле- ~
-> "нь
вий, то всегда можно , подобрать такие функции 6P(S) и CTIS), что
интеграл в левой части (5.18) будет отличен от нуля. В атом случае-
гидростатическая нагрузка не будет консервативной. Допустим теперь, что
край оболочки сможет свободно сколь-
-*¦
зить по некоторой гладкой заданной поверхности с нормалью No,
ие отрываясь от нее. В этом случае все три вектора 6Р, 6'Р, t лежат В
одиой плоскости, и подынтегральное выражение в (5.18) тождественно равно
нулю, т. е. условие консервативности выполнено. В частности, если край
оболочки скользит по плоскости, то нетрудно найти выражение потенциала:
--J р JjN*PdO--^P^°'P*j| Я, PdS- (5?1)
Здесь Ро - радиус-вектор -опорной плоскости, М0 - внешняя нормаль к Г,
лежащая в опорной плоскости. Легко видеть, что выражение (5.21) без учета
множителя -р представляет собой объем, ограниченный поверхностью О и
опорной поверхностью.
Рассмотрим еще случай, когда'граничный контур оболочки жестко, связан с
абсолютно твердым телом. Это имеет место, например, для~контура,
подкрепленного криволинейным стержнем, жесткость которого значительно
превышает жесткость оболочки.
Для данного случая имеем
8р = v + ш'Х Р, 8'P = v' + ш'-Р. -(5.22)
Здесь со, со' -г векторы инфинитезимального поворота твер-
дого тела, v, v7 - инфинитезимальные перемещения полюса (на-
*>
чала отсчета, радиуса-вектора Р). Условие потенциальности
(5.18) после .преобразований принимает вид
(со X v - <о'х v)*X-(со X со')-Р= О,
> I f-* -*¦ ¦" Г~--* -*
T|PxdP' p = -jpp'dp- (5-23>
Пользуясь формулой Стокса, можно показать:
JjNdO= -}JpXdP; |jNXPdO jPP-dP. (5-24)
4*
Таким образом, векторы Я и р имеют простой механический, •смысл. С
точностью до множителя -р они представляют собой? •соответственно главный
вектор и главный момент сил давления,0 приложенных к поверхности О.
- Отменим, что, как нетрудно проверить, условие (5.23) инвариантно
относительно выбора полюса.
Если граничный контур допускает произвольные жесткие* смещения, то легко
показать, что условие консервативности-(5.23) не выполняется. Если же
контур может вращаться лишь; "округ фиксированной оси, причем допускается
и поступатель-
ное смещение вдоль этой оси, то векторы v, v', все имеют одинаковое
направление и условие (5.23) выполнено. Для этого случая также можно
построить выражение потенциала гидростатической нагрузки. Граничные
условия иа перемещения поверхности задаются здесь формулой конечного
поворота [30]:
P=P + VkH 1-ex(p-|--yeXpJ,•
4+ёa t
e = 2ktg-|-. (5.25)
-*• • "м
Здесь к - фиксированный (неварьируемый) единичный вектор, задающий
направление оси вращения, <р-угол поворота, "V -величина поступательного
смещения. Начало отсчета век-'
торов р и Р выбрано на оси вращения. После подстановки
(5.25) в (5.17) и тождественных преобразований получим
про-
стое соотношение •
Y Р J (<?P/<?s X Р) -SP ds = р jp" (k ХТ) ds8V + t, t г
+ У J (?x kj - (Гх ds 8<p_. (5.26)
7
Потенциал гидростатической нагрузки в этом случае можно записать в виде
Э ~ ~ "з" Я (r) Х Р")*Р d4' dflJ + Y Pv JP(k Xt) ds +
+ Y P<P J(ТхЮ • (р X -5 ds. (5.27)
7
I
Если абсолютно твердый 'контур вращается вокруг неподвижной точки, то,
выбрав ее в качестве полюса, из (5.23) видим,
что условие потенциальности будет выполнено, если вычислен-
" ->¦
ный относительно этого полюса вектор Э равен нулю. Для члоского контура у
такой полюс существует; нетрудно проверить, что'это - центр тяжести
плоской фигуры, ограниченной <онтуром у-
Вторая причина некоторой "неполноценности" приведенной $ыше формулировки
принципа Лагранжа состоит в том, что при юказательстве вариационного
уравнения (5.6) в качестве главных (устойчивых) краевых условий были
использованы кинема-ические условия,, то есть ограничения на вариации
