Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек - Зубов Л.М.
Скачать (прямая ссылка):
н& о и вектора нормали
к о получим ч . .
р* = р" + у," П, п== у g/g (п - у, а Р" ), . (2d-)
g/i = 1 + g^y,. у. p.
Здесь индекс после запятой означает производную. по соответствующей
координате. Из (2.1) найдем выражения коэффициентов первой и вТЬрой
квадратичных форм и символов. Кри^ стоффеля поверхности о: '
g"p = g*+ у; а у. р, Ьар = Vgig (У. - Tip у•"). (2.2)
Tip = Tip + (g/g)(y. 4 -7*р У. *) gvlL у.
g.p _ (i/g)7"|*s у, v у_ j, . ¦
g = gll g?2 g?2> g = gll g22 ----
Предполагая, что срединная поверхность О деформированной оболочки также
однозначно проектируется" на некоторую плоскость П, в которой введены
произвольные координатю Ха'
(а'=1, 2)l*c базисом Ра-, определим положение поверхности О возвышением Y
(?"') над* плоскостью. Для поверхности О,- отнесенной к координатам Х"\
имеют место формулы, аналогичные. (2.2): . _
" Ра, =Гра; 4- Y,N, N* = VG'/G' (N - Y, "<Р"'), - (2.3)
' G"' р' = G"' р' + Y,Y.'ps В.' р' = j/"(Y, "'р' - Г;;р, Y v.),
¦rl-V = riV + ~ (Y, а'у -Tj:p. Yr).Q'V Y.^
0
G7G>= 1 + G"'P'Y,a.Y,р^. •
В (2.3) через N* обозначена нормаль к О, "сонаправлениая" N(N*N>0).
Деформацию поверхности, т. е. взаимно однозначное точечное преобразование
о в О, можно Описать функциями Х*'(х*), * Y (ха). При этом будем
предполагать, что векторное базисы .* -^ (tm) ^ - .Ра, п и Ра, N имеют
одноименную ориентацию. Сделав в (2.3) = .замену координат Х"'-"-ха,
получим для векторов базиса, коэф- , •фициентов квадратичных форм и
символов! Кристоффеля поверх- % вости О, отнесенной к координатам х",
следующие формулы: • '
Ра = Р" + Y, a N, (stgnA)N = N*= V G/G (N - Y. "Р" ); (2.4)f
V P. ==T>." X";, P* = P"* x",; |
= Op 4- Y.a, Y.P, G-р = 04" + ?. G"" G"P Y. v Y. *; Z
G -v*(r)
*>"
• _ ^
(sign A) = V G/G (Y, "Р - Rp Y,,); ?
_ <Sl
r;p = r;p + -|(Y..p-FpY.,)G^Y.>; I
.Gap эв Ga"P' xr'xf;, xl' 4-1
jl, = RV x% x% xi- + *;. xflP; ' :.i
тс}. *= a-1 x";r x\,==a-1 x2;; xfr=-a_i x2;; x\. = - a-" x"^f a = x";x2;-
x";x2;, о = g" g22 - g22; h
G = On Cte-G^i = = 1 +G"PY,.YlP. ,
o G" •
' . ->¦ - i - " " '-•*%
В формулах (2.4) величины Pa', Ga>p, Ity есть известны "функции координат
Xa', определяемые ¦ способом введения корр? дииат на плоскости П. В
соответствии с установившейся- в ме* ханике сплошной среды терминологией
х" можно назвать лагран! жевыми, а Х"' - эйлеровыми координатами
деформирующейся
"> -ч.
поверхности. Единичный вектор материальной нормали N ="
-> _
- Pi X Рг/VG к .деформированной поверхности О следует-ртли^ -> -+• ~ чать
от вектора N*, определяемого из (2.3). N - это вектор, в
который переходит после деформаций вектор п. Он может, ил* *П
совпадать с вектором N* или отличается от него знаком. Вто-' рая формула
(2.4) выводится из (2.10) главы III. * .
Для статических задач упругих оболочек уравнения равнове-, сия с помощью
определяющих соотношение и, представлений (2.4) сводятся^ к системе трех
уравнений для трех функций'
Xе'(х"), Y (хв), . . ' .
Указанный выше способ описания реформации оказывается удобным, при
постановке контактных задач для оболочек. Допустим, что некоторая часть-
оболочки соприкасается с абсолютно Твердой гладкой поверхностью.
.Пренебрегая толщиной_з?болоч-ки, будем считать, что с этой поверхностью
непосредственно контактирует срединная поверхность оболочки.-Поэтому в
области контакта Y(X"')-заданная функция. В области контакта jnep-Вые два
из уравнений равновесия (2.26)-главы IV служат для нахождения двух
функций Х"' (й") , а из третьего уравнения равновесия определяется
контактное давление. При этом следует пользоваться представлениями (2.3),
а величины. Gap, Bap, находить через соответствующие величины со
штрихованными индексами с помощью формул типа (2.5). -. ' * .На
неизвестной заранее границе зоны контакта должны выполняться усл9вия
сопряжения' решения в области контакта с решением в области, свободной от
контакта. -Эти условия состоят В требовании непрерывности при переходе
через граиицу функ- • ~
цнй Xе'(х°); Y (х") и произв9Дной функции Y по направлению нормали к
контуру, ограничивающему зону контакта. Кроме то-- То, должны- быть
непрерывны левые части первых двух и последнего из соотношений' (1.11).
Как известно из линейной теории оболочек" и пластин [14, 48], условие
непрерывности левой часта предпоследнего соотношения в (1.11), т. е.
непрерывности перерезывающей силы, не может быть удовлетворено в рамках
теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа - Лява.
'Рассмотрим задачу о контакте двух деформируемых оболочек при отсутствии
трения. Лагранжевы координаты первой и второй оболочек обозначим
соответственно х", Для' каждой из оболочек фигурирующая в уравнениях
равновесия нормальная составляющая нагрузки F состоит из заданного
внешнего давления и реакции со стороны Соприкасающейся оболочки. Эту
часть нормальной. нагрузки для- первой оболочки обозначим р(да), для
второй-с(|"). Неизвестными функциями в области контакта являются: '
¦
для первой оболочки -
