Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
0
I
-1 (/ - x)n(x)dx
0
I
| jc • n{x)dx
0 I
| (/ - jc)w(jc)c?c
-EF EF О -I EF -EF I 0
w(0) u{l) N{ 0)
Щ)
| jc • n(x)dx
0 I
| (/ - x)n(x)dx
(25.28)
Уравнение (25.28) и является основным уравнением МГИУ в матричной форме
для стержней. Или если обозначить
А =
-EF EF 0 -/ EF -EF I 0
Х =
и( 0) и{1) Щ 0)
т
в =
J х • n(x)dx
0
1
J (/ - jc)w(jc)c?c
то получим матричное уравнение
АХ = В (25.29)
Решим пример 1, используя матричное уравнение (25.28):
-EF EF 0 -/ EF -EF I 0
u{ 0)
0
0
Щ)
J х • (-yF)dx
0
1
J (/ - x){-yF)dx
-EF EF О -I EF -EF I 0
Получили уравнения
u{ 0) yFl2
0 2
0 <N 1
Щ) 2
381
yF-l7
- EF • w(0) - / • N(l) = -
EF-u{ 0) = -^-2
у-I2
Из последнего уравнения w(0) = ------------, из первого -
2 Е
N(1) = yFl
25.1.5 Учет граничных условий
Единственность решения (25.28) и (25.29) достигается при помощи
исключения двух неизвестных за счет граничных условий. Будем
рассматривать три классических условия:
1) жесткое защемление и = 0;
2) свободное опирание и = 0;
3) свободный край N = 0.
Опишем все возможные
случаи при равенстве нулю
известных граничных условии.
1. м(0) = 0 и{1)-1
N{Q)-1 N(1) = 0
х
Рис.25.4
Матричное уравнение приобретает вид
EF 0 и{1)
-EF 1 Щ 0)
2.
м(0) - ? N( 0) = 0
| xn(x)dx
о
I
| (/ - jc)w(jc)<?c
и{1) = 0 #(/)-?
(25.30)
I
X
Рис.25.5
Матричное уравнение:
382
-EF -I w(0)
EF 0 Щ)
3. w(0) = о JV(O)-?
I
| xn(x)dx
о
i
| (/ - x)n(x)dx
(25.31)
JC
Рис.25.6
и все остальные 3 варианта. Т.е. для расчета стержня МГИУ все равно,
защемление или опирание.
1 о N{ 0)
I 0 m
| xn(x)dx
о
I
| (/ - jc)w(jc)c?c
(25.32)
Теперь попробуем решить пример 2 (сила растягивает стержень и приложена
на конце)
Начальные условия: м(0)-?; и{1) = 0; У(0) = 0; У(/)-?
Данному случаю соответствует СЛАУ (25.31)
i
| xn(x)dx
о
I
| (/ - x)n(x)dx
о
0
-EF -I w(0)
EF 0 Щ)
- j / • Pdx
-EF -I и(0)
EF 0 ' N(l)
-EF-u(0)-l-N(l) = 0
EF-u(0) + 0-N(l) = -Pl
PI
EF
Из второго уравнения получаем w(0) = -
Из первого EF--1 • N(l) = 0 N(l) = -P.
EF
Пример 3. Решим стержень, изображенный на рис.25.7:
и(0) = 0 Щ 0)-? и(1) = 0 N{1)-1
383
п{х) = -Р • 8 (jc)
4
/
?
а
л Рис.25.7
Имеем случай СЛАУ (25.32). После подстановки нагрузки получаем:
1 О Щ 0)
/ 0 Щ)
Щ) = -
Ра
I
Щ0) = Р{1 - а)
Р{1 - а) I
i -^а-Р -8{a-Qi)dx / -/ 'N(l) = -Pa^8(a-0)dx
0 i => < 0 /
-1 (/ - а)Р • 8{а - l)dx 0 l-N( 0) = -(/ - a)Pj 8(a- l)dx
1 = -Ра • sign(a - 0) -ч г ч-? и 1 Й>е \
= -(/ - а)Р • sign(a -1) -/ \l-N(0) = (l-a)P
^ Проверка: Хр*=0: N(0) + P + N(l) = 0 =>
" Ра " " Ра Ра _ 0
-Р + - = 0 =^> Р Р + - = 0. Всеверно.
II II F
25.2 Расчет балок МГИУ
В данном разделе рассматриваются балки, т.е. линейные объекты, описанные
в главе 8. Как и для стержней, повторим основные формулы и зависимости.
25.2.1 Постановка задачи об изгибе балки
Рассмотрим балку с внешней распределенной нагрузкой qy,
направленной вверх, вдоль положительной оси у (Рис.25.8).
384
Выделим в произвольном месте балки элемент длиной dz. Рассмотрим
выделенный элемент (Рис.25.9). Предположим, что поперечные силы и
изгибающие моменты, которыми заменяем отброшенные части балки,
положительны. Кроме этого, ввиду малости dz, считаем qy
интенсивностью равномерно
распределенной нагрузки.
.: у ....
AV IV iV\V iV iV iV iV
dz
Рис.25.9
0
Af + dM"
Qv + dQv
Составим для данного элемента два уравнения равновесия:
Qy+qydz-{Qy+dQy) = °
Т.Ру= 0: XX =0:
dz
Мх + Qdz + q dz- (Мх + dMx) = 0
(25.33)
(25.34)
Из уравнений (25.33) и (25.34) можно получить известные дифференциальные
зависимости при изгибе (см. главу 8):
^=е, .
dz
d2Mx dQ
dz7
dz
= S\
(25.35)
(25.36)
25.2.2 Вывод основных уравнений МГИУ для балок
Запишем теорему взаимности работ (теорему Бетти):
i i
| q'wdz +(Q'w + M'6)f0 = | qw'dz +(Qw'+Me')f0 (25.37)
о 0
здесь параметры со штрихами соответствуют вспомогательному состоянию
балки, а без штрихов заданному. Именно они и не известны. В уравнении
(25.37) и дальше w - прогиб балки, в -угол поворота, Q - поперечная сила,
М- изгибающий момент. Для упрощения записи все индексы опущены.
В обеих частях уравнения (левой и правой) вторые члены
физически являются интегралами по границе балки д?1, но 80. = [О,/] -
всего две точки.
385
Теперь осталось правильно выбрать вспомогательное
состояние. Перепишем (25.37) в обозначениях теории потенциалов, заменив
внешнюю нагрузку q'= q'(z) = 8(z,g):
J 8 (z, %)w(z)dz + (Q* (z, g)w(z) + M*(z, ?)<9(z))|' =
0
= J q(z)W * (z&dz +(Q(z)W * (z,?) + M(z)0 * (z,,*)) |'
(25.38)
Здесь величины со звездочками - фундаментальные решения. Перепишем
(25.38), учтя свойство 8{х,%) - дельта функции Дирака
j8(x,^)w(z)dz = w^)f
о
и перенеся все кроме этого члена в правую часть:
= j q{z)W * (z, %)dz + (Q{z)W * (z, %) + M(z)(r) * (z, g) - (25.39)
-w(z)Q*(z,Z)-e(z)M*(z,Z)) I
Это и есть основное уравнение МГИУ. Точка ? принимает значения 0 и /.
Всего в (25.39) неизвестных 4: w(z), 6{z), M{z) и Q(z). (Точка ? одна из
