Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
Фундаментальные решения (25.20) имею вид
dU * (jc, ?) _ d
dt
dN*(x,?)_ d ' d% ~ d%
\x~Z\
2 EF
sign{x - %) 2 EF
-\sign{x-%) = 28{x, ?) = 8{x, ?)
.2 ) 2
(25.20)
(25.21)
(25.22)
Учтя, выражение (25.8), (25.21) и (25.22), из (25.20) получим
Щ) = signQ-4)Щ1)_ё(ц)т_ "W-fl Л,(0) +
EF 2EF 2EF
+ 8{0, ?)и(0) + j n(x)dx
(25.23)
#(?) = Ш. - S(l, %)EF • и{1) + + 8{0, C)EF • и(0) + - } sign{x -
%)n{x)dx
2 2 2 q
(25.24)
Дельта-функцию в (25.24) в обоих случаях принимаем равной нулю, исходя из
следующих рассуждений: эта функция по определению может быть либо нулем,
либо бесконечностью, но бесконечность нас не может устроить (например, не
может быть бесконечных прогибов).
Это второе основное уравнение МГИУ для усилий. Из уравнений (25.19) и
(25.24) составляют СЛАУ. После ее решения все параметры на границе (в
двух точках - начале и конце
376
стержня) будут известны. Запишем полученные основные уравнения МГИУ
<%) = - NQ) + и{1)\ + N (0) + и(0) i - J ^-^n(x)dx
2 2 EF
2 J0 2 EF
У (?) = Щр- + \ j sign{x - %)n(x)dx
(25.25)
Замечание. Граничных уравнений (25.25) всего 4: для м(0), и{1), N{0) и
N{1), а неизвестных всего 2. Таким образом, имеем произвол в выборе
уравнений.
Вычислим частный случай объемных интегралов с учетом п(х) = п
14 1 4 1
j|jc - tfylx = J |jc - %\ix + ||jc - tfylx = - J (jc - %)dx + j (jc -
%)cbc =
+
ix-tf
I 4 l 4 1
|sign{x-%)cbc =|sign{x-%)cbc +Jsign{x-%)cbc - -^dx + ^dx- + 1 -^ - I-
2^
о о 4 04
Разрешающие уравнения (25.25) приобретают вид
и(4) = - N(I) + u(l)- + J?-^ljv(0) + m(0)- --
2 EF 2 2 EF 2 4EF
ЛГ/^Л NQ) N(0) n"
tf(?) = -^ + -^ + -(/-2?)
(2%2 +12-Щ)
(25.26)
25.1.3 Примеры применения МГИУ к стержням
Пример 1. Защемленный стержень постоянного сечения под собственным весом
(^-объемный вес материала стержня). (Рис.25.3)
Граничные условия: N( 0) = 0, и(1) = 0.
Неизвестные: N(1) и м(0).
377
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из уравнений (25.26) с
учетом граничных условий и очевидного равенства п{х) = -yF будет иметь
вид:
м<|)=~\Sm+и(о)\+^(2е+/2 ¦щ)
(25.27)
////А//////
Расчетная
схема
N
и
I
EF
О
2 Е
Запишем уравнения для неизвестных (пока испилг"о/ем два уравнения из
(25.27) по своему выбору):
м(0) = N(1) + - м(0) + -(2-02 +/2 -2/-0)
2EF 2 АЕ
Здесь в первом уравнении ? = 0, а во втором ? = /.
Из второго уравнения N(l) = yFl . Подставив данное выражение в первое
уравнение получим
yl2 1
и( 0) = -^L + -u(0) + ^-
2 EF 2 4 Е
-и(0) = -^~
2 4 Е
^Д,(0) + ^
АЕ 2 АЕ => м(0) = -
+ -м(0) АЕ 2
?
2?
Результаты совпадает с соответствующими формулами главы 5. Запишем
уравнения для внутренних точек:
378
"(?) =
г
2 Е
и{%) = - yFl (2%2 +12- 21%)
2EF 2 2 Е 4 EF
-(/-f)/-| + i(2f2+/2-2/f)
= ^(~12 +1% + %2 ~l%)=^(%2 -I2)
2 Е
2 Е
Этот результат также верен.
Пример 2. Условия примера 1 сохраняются, но нагрузкой является сила Р,
приложенная в начале координат и направленная вниз. Собственным весом
стержня пренебрегаем. Граничные условия: и{1) = 0, N{0) = 0 Неизвестные:
и{0) и N(1).
Нагрузка: п(х) = -Р- 8 (х)
Первое из уравнений (25.1) приобретает вид:
*(?) = - N(l) + ^м(0) - j n(x)dx
и(
2EF
здесь нуль под интегралом в числители, так как сила приложена в точке
нуль.
При % = 0 получаем и{0) = ----N(l) + -u(0)~ f ^ ^ n(x)dx
2 EF ^ 1 mrr
2EF
При % = 1 получаем и{0) = -^ ^N(l) + -u(0)- fl^-^w(jc)<&
2 EF ^ 1 mrr
2 EF
В первом уравнении интеграл равен нулю. Вычислим интегралы из второго
уравнения
i
X ~2
i i II
J |х - l\dx - J (^ - x)dx = / J с/х - J xdx -12 -
/2 I2
= F- =
и(0) = --^-ЛГ(/) + ^и(0)-0 Получили СЛАУ:
1 PI 0 = 0 +-w(0) + ---
2 2 EF
PI
Из второго уравнения w(0) =---------, из первого N(l) = P.
EF
379
Сделаем проверку: J^=0: -P + N(0) = 0, -Р + Р = 0. Все
верно!
25.1.4 Вывод матричного уравнения
Запишем первое из уравнений (25.25) при ? = 0 и при ? = /:
/ 11 1
м(°)= " Щ) + 0 • N(°) + т м(0 " т - (° + * )М°) " j
7 7 J Zxi-Г
1 г Ijc - /I - w(0) - IJ Lw(jc)dbc
2 q 2 EF
¦j 11^
M(0) =---N(l) + 0 • N(0) + -m(/) + -m(0) - f -n(x)dx
2 EF 2 2' 2 EF
u(l) = 0 • N(l) + - • JV(0) + -u(l) + -u(0) - f ^Xi(x)dx 2 EF ^ ^
1 ^1717
2 EF
u(l) = 0 • N(l) + • JV(0) + ^ sign{l -{I- e))u{l)
+ ^
2 EF
Запишем эти уравнения в матричной форме
и{ 0) и{1)
0
/
/
2EF
2EF
0
Щ 0)
Щ)
+
1 I
2 2 1 1
2 2
и{ 0) и{1)
X
2EF |jc - /| 2EF
n(x)dx
n(x)dx
и{ 0) и{1)
2EF
0 -1
1 0
Щ 0)
Щ)
+¦
1 1 1 1
и{ 0) и{1)
2EF
| х • n{x)dx
0
1
| (l-x)n(x)dx
Преобразуем это уравнение к виду, удобному для программирования для чего
перенесем все неизвестные влево:
1 0 * и{ 0) 1 1 1 и{ 0) 1 0 -1 N(0)
0 1 и{1) 2 1 1 и{1) 2EF 1 0 т
1
2EF
1
2
и{ 0) и{1)
2EF
0 -1
1 0
N(0)
т
2EF
| х • n{x)dx
0
1
| (/ - x)n(x)dx
о
| х • n(x)dx
0
1
j(l-x)n(x)dx
380
1 -1 * u{ 0) I 0 -1 N{ 0)
-1 1 u{l) EF 1 0 Щ)
EF
EF -EF * u{ 0) 0 -I N{ 0)
-EF EF u{l) I 0 Щ)
-EF EF * u{ 0) 0 -I N{ 0)
EF -EF u{l) 1 I 0 m
j jc • n{x)dx
0 I
| (/ - jc)w(jc)c?c
0
-1 jc • n(x)dx
