Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
311
Nl и N2 - нормальные усилия;
5, и S2 - касательные (сдвигающие) усилия;
Ql и Q2 - поперечные силы;
М, и М2 - изгибающие моменты;
М12 и М21 - крутящие моменты.
Система дифференциальных уравнений теории оболочек очень сложная и ее
решение связано с большими математическими трудностями. В некоторых
частных случаях эта система уравнений значительно упрощается и допускает
аналитическое решение. В частности, если оболочка представляет собой тело
вращения и нагрузка симметрична относительно оси вращения, то задача
называется осесимметричной. В этом случае
Mn=M2l=Sx=S2=Q, Qx =0 (или Q2 =0)
Решение задачи также упрощается, если, анализируя геометрию оболочки,
характер действующей нагрузки и закрепления краев можно сделать вывод, и
то какие-либо усилия или моменты малы по сравнению с остальными.
В частности, если принять, что напряжения, возникающие в оболочке,
постоянны по толщине и изгиб отсутствует, т.е.
м,2 =М21 =М, =М2 =0, qx=q2= о,
то получим уравнения безмоментной теории оболочек. Следует заметить, что
многие элементы машиностроительных и строительных конструкций
рассчитывают по безмоментной теории.
Наиболее простыми являются уравнения осесимметричной безмоментной теории
оболочек. В этом случае отличными от нуля будут только нормальные усилия
7V, и N2.
Вопросы общей теории оболочек не рассматриваются в курсе механики
материалов, они представляют собой самостоятельный раздел механики
деформируемого твердого тела. Мы рассмотрим только задачи осесимметричной
безмоментной теории оболочек.
21.2 Определение напряжений в осесимметричных оболочках по безмоментной
теории
Рассмотрим осесимметричную оболочку толщиной h находящуюся под действием
давления Р газа, воды или сыпучих материалов (рис.21.2)
312
j
Рис.21.2
Обозначим рх и р2 радиусы кривизны оболочки в окружном и меридиональном
направлениях. Предположим, что толщина оболочки мала по сравнению с
радиусами кривизны, давление Р может меняться по высоте оболочки, но
постоянно в окружном направлении, свободный край оболочки закреплен так,
что на него могут действовать только усилия, касательные к меридиональным
кривым. Тогда оболочка будет находиться в осесимметричном безмоментном
напряженном состоянии.
Выделим из оболочки двумя меридиональными и двумя осевыми сечениями
элемент ABCD (рис.21.3).
Длины граней элементов обозначим dSx и dS2. На этих гранях элемента
действуют нормальные усилия 7V, и N2, вызванные напряжениями сгх и сг2.
На гранях АВ и CD усилия N2 и напряжения <т2 отличаются на величину
приращения dN2 и dcr2.
Составим условия равновесия элемента ABCD, приравнивая сумму проекций
всех сил на нормаль к нему к нулю. В результате получим
2NxdS2 sin^ + N2dS] sin^ + (Nx + N2 )dSx sin- PdS]dS2 = 0 Слагаемое N2dSx
sin-^- имеет более высокий порядок малости
313
по сравнению с другими слагаемыми и им можно пренебречь. Учитывая, что
углы dq>x и dq>2 малые и что dS1 = pxdq)x, dS2 = p2dq>2 находим:
sin
d(px d(px 1 dSx
sin
d(Pi " d(Pi 1 dsi
2 2 2 px
Подставляя эти выражения преобразуем их к виду:
в
2 2 р2
уравнения
равновесия,
, N*-P
А Pi
N2 =a2h.
Подставив их в Лапласа
Nx = crxh.
предыдущее равенство, получим формулу
o', *2 Р
Рх Pi h
В этой формуле два неизвестных ах и <т2. Для их определения необходимо
еще одно уравнение. Дополнительное уравнение составим рассматривая
равновесие конечной части оболочки отсеченной коническим нормальным
сечением (рис.21.4).
314
Рис.21.4
По контуру сечения АВ действуют погонные усилия N2, результирующая
вертикальная составляющая которого равна cr227irhcosa, где а - угол
наклона между касательной к контуру и осью вращения оболочки. Проектируя
все силы на вертикальную ось, получим:
^ Р7 =сг2 2nrh cos а-Р = 0 где Р - вертикальная составляющая
равнодействующей внешних сил, действующих на отсеченную часть оболочки.
Из этого уравнения определяем меридиональное напряжение
Р
<т2 =--------
________iTtrh COS <2
Если оболочка находится под действием внутреннего давления газа Р,то Р =
рлг2 и
Рг
СУ 2 - •
2;rcosa
315
В случае оболочки, заполненной жидкостью
Р - уНлг2 +Q, где у - вес единицы объема жидкости;
Н - толщина слоя жидкости над сечением АВ;
Q - вес жидкости в части оболочки, расположенной ниже сечения АХВХ.
Меридиональное напряжение в этом случае равно:
уНлг2 +Q
°2 =
Inrhcosa
Напряжения сгх и <т2 являются главными напряжениями. Третье главное
напряжение, напряжение, направленное по нормали к срединной поверхности
оболочки. В тонкостенных оболочках оно значительно меньше сгх и <т2.
Действительно
ох "
Ррх Рр2
1 или
h h
Поэтому <т3 в расчетах тонкостенных оболочек учитывается двухосным. Для
расчета на прочность оболочек следует пользоваться теориями прочности.
Пример 1. Расчет цилиндрического баллона заполненного газом, давление
которого равно Р (рис.21.5).
Рис.21.5
В этом случае р2 = оо, px=R. Из формулы Лапласа:
R
00
р
h
Находим
PR
316
Для определения <т2 проведем сечение А}В} и рассмотрим равновесие любой
