Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
необходимо записать два условия прочности (на растягивающие и сжимающие
напряжения).
Р_
F
ст" = -
N
Z Y
1+ -А71+^
v 1у 1* J
Р
F
Ф-]
(18.22)
18.6 Ядро сечения
Хотя до сих пор мы изображали нейтральную ось проходящей через сечение, в
общем случае она может проходить и вне его. Действительно, если сила Р
приложена в центры тяжести, то нейтральная ось проходит в бесконечности,
так как напряжения в этом случае распределяются равномерно по сечению.
Иногда необходимо установить те возможные положения сжимающей силы, при
которых напряжения во всех точках поперечного сечения будут одного знака.
Простейший пример представляет собой кирпичный столб, на который
опирается ферма. Так как кирпичная кладка сравнительно хорошо работает на
сжатие и почти не может воспринимать растягивающих напряжений, то
желательно приложить силу так, чтобы во всех точках сечения возникали
только сжимающие напряжения. Следовательно, нейтральная ось должна
проходить вне сечения, она может только касаться его, но не должна
пересекать.
Найдем очертание такого конура, внутри которого должна находиться
сжимающая сила, параллельная так, чтобы напряжения
263
по всему сечению были одного знака. Площадь, заключенную внутри такого
контура, называют ядром сечения.
Таким образом, ядром сечения называется область вокруг центра тяжести
сечения, характерная тем, что всякая продольная сила, расположенная
внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения
напряжения одного знака. Если силу приложить на границе ядра сечения, то
нейтральная ось будет касательной к контуру.
Для построения ядра сечения необходимо рассмотреть различные положения
касательных к контуру сечения, предполагая, что они представляют собой
нейтральные линии и найти координаты граничных точек ядра сечения, а
затем, по этим точкам очертить само ядро сечения.
Из формул (18.20) и (18.21) можно получить координаты границ ядра
сечения:
У. =-%-¦, (18.23)
ау "у
Детали построения ядра сечения выясним на примерах.
Пример 1. Построить ядро сечения для круглого сечения (рис.18.10).
Предположим, что нейтральная ось совпадает с прямой АВ. Отрезки, которые
отсекает нейтральная ось на координатных осях, равны:
ay=~R, az=co.
Координаты границ ядра сечения находим по зависимостям (18.23):
i] _ J2 _tlD44-2 _D_R Уя~ ~ay~ ~Fa~y~ 64tzD2D~~&~^'
Точка 1 находится на границе ядра сечения, ее координаты
R п
Уя=~^> 2я=0-
Ввиду симметрии сечения достаточно рассмотреть одно положение касательной
к сечению. Ядро сечения круга также будет
R
кругом с радиусом -.
264
JL
-Л-
XL
Рис.18.10
Пример 2. Построить ядро сечения прямоугольника (рис.18.11). Совместим
вначале нейтральную ось со сторопой/Ш (положение 7 - 7 )
Ъ
Определены координаты границы \у ядра сечения 1. Совместим теперь
7 нейтральную ось со стороной ВС
(положение 77-77).
= _2
az =°°-
12 bhb
Рис. 18.11
Имеем
265
ау= о°.
h
Тогда координаты точки 2 границы ядра сечения будут
Уя=°> Н
2я 2
Легко убедится в том, что положению
f Ъ \ ( Ьл
-,0 , a AD - точка 4
. 6' у
касательной CD
соответствует точка 3
Так как при переходе нейтральной оси с одной стороны на другую она
поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы
перемещается по прямой, образуя коридор ядра.
Таким образом, ядро сечения прямоугольника является ромб с диагоналями,
равными одной трети соответствующей стороны сечения.
18.7 Изгиб с кручением
Рассмотрим горизонтальный ломаный стержень ЛВС, жестко закрепленный на
одном конце и нагруженный вертикальной силой Р на другом (рис. 18.12).
Сила Р вызывает изгиб стержня AS и изгиб и кручение стержня ВС.
Рис. 18.12
Совместное действие изгиба и кручения является наиболее характерным
случаем нагружения валов. Силы, действующие на валы (давления на зубья
шестерен, натяжения ремней, собственный вес вала и шкивов и т.п,)
вызывают его изгиб и кручение.
266
Для расчета вала в первую очередь надо установить опасные сечения, с этой
целью должны быть построены эпюры изгибающих моментов Му и Mz и крутящего
момента М^.
Нагрузки, действующие на вал, раскладываем на составляющие вдоль
координатных осей (рис. 18.13), а затем строим эпюры.
При изгибе вала круглого или кольцевого сечения в каждом из его сечений
имеет место прямой изгиб под действием результирующего изгибающего
момента
м^=^мгу+м]
267
Вектор момента Мтг в разных сечениях может иметь различные направления,
поэтому даже при отсутствии распределенной нагрузки эпюра Мизг может быть
криволинейной.
Сопоставляя эпюры Мизг и Мкр находим опасное сечение (это может быть
сечение С или D ).
Определим опасные точки сечения. От скручивания вала возникают
касательные напряжения, которые по сечению распределяются равномерно.
Т
тах ЦТ
При изгибе возникают нормальные и касательные напряжения. Так как
касательные напряжения от изгиба очень малы по сравнению с касательными
напряжениями от кручения, то ими пренебрегаем. Нормальные напряжения
