Механика материалов - Зозуля В.В.
ISBN 966-610-055-Х
Скачать (прямая ссылка):
вправо, ось у - вверх. Тогда EJy0 =0, EJ0o =0.
На опоре возникают реакции VA=qa и МА = , которые
необходимо учесть при составлении универсального уравнения. На
137
втором участке нужно продлить равномерно распределенную нагрузку и
приложить компенсирующую (q* =q). На рис. 9.6 они показаны пунктиром.
Универсальное уравнение запишем так:
EJy{x) = -МА
(*-°)2 ! у (* - о)3
ч-
+ q
(х-а)4
24
2 Л 6 24
Подставляя значения Мл и VA в это уравнение при х = 2а, получим
максимальный прогиб
шУк\г=
х=2 а
qa2 4а2 8а3 16а4 а4 1 4
------------Yqa-------q--------Yq- =----------qa .
2 2 6 24 24 24
Откуда
Ук =
7 qa
24 EJ
Знак "минус" указывает, что сечение jc перемещается вниз.
Для определения угла поворота сечений нужно дифференцировать
универсальное уравнение упругой линии.
(х-а)3
EJG(x) = -МА(х -0)+VA °) -q(X °)
+ q
п
Подставив значения М /
и
получим значение
максимального угла поворота при х = 2 а.
EJ01
qa
откуда вк=-
qa
к\х=2 а 6 ' * 6EJ
Знак "минус" указывает, что сечение х поворачивается по часовой стрелке.
138
ГЛАВА 10
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА
10.1 Изгиб балок тонкостенного профиля
Известно, что внешние силы, расположенные в плоскости, проходящей через
одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, вызывают
прямой поперечный (или плоский) изгиб. Однако это не всегда так.
Рассмотрим консольную балку швеллерного поперечного сечения, загруженную
сосредоточенной силой Р (рис. 10.1).
Проведем два сечения 7-7 и 77-77, отстоящие друг от друга на расстоянии
dx. В сечении 7-7 действуют М(х) и Q(x) = P. В сечении 77-77 -M(x) +
dM(x) и Q{x) = P. Выделим из полки элемент ABCDA'B'C'D' и рассмотрим его
равновесие.
139
M (jc)v
На грань ABCD действуют напряжения ст'=-
"7
равнодействующая которых
Tl = \a'dF = ^\ydF = ^^.
к j к j
На грань А'В'C'D' действуют напряжения а"= + dM(x))y ^
равнодействующая которых
Т2 = Ja "dF - + dM^ J ydF - + dM^Sn
Fj J F1 J
Т.к. T2 >T19 то для равновесия элемента по грани АСА'С' должны
действовать касательные напряжения хп, направленные от сечения77-77к
сечению 7-7. По закону парности такие же напряжения хп должны действовать
в поперечных сечениях полки, т.е. на площадках ABCD и А'В'C'D'. Так как t
мало, то можно считать хп = const по толщине полки. При этом имеем
lLPx=Ti +vntdx-T2 = 0.
Подставив выражения для Г, и Г2, получим
M{x)Sn | т ^ M(x)Sn dM(x)Sn Q
J п J J
После деления на tdx будем иметь
dM (jc) S dM (jc) ,
xn= --, но ------------------ = б поэтому формула для
определения
dx tJ dx
касательных напряжении (горизонтальных) в полках балок тонкостенных
профилей имеет вид:
Здесь Sn - статический момент площади отсеченной части полки относительно
нейтральной линии; t - толщина полки.
Исследуем распределение касательных напряжений хп по ширине
полки швеллера хп = . Определим
S. =tz
2 2j
_ Qtz(h-1)_ _ -1)_ _ лине^ная функция от z.
2 tJ 2 tJ
T| .0. tl
n\z=0 ' n\z=b-d 2 J
140
Эпюра тп построена на рис. 10.2.
Кроме напряжений тп в сечении действуют вертикальные (параллельные Q )
касательные напряжения т, которые определяются по
OS
известной формуле Журавского (т = -). Напряжения т всегда образуют
Ы
единый поток с касательными напряжениями т в стенке (рис.10.2).
Определим равнодействующие касательных напряжений,
действующих в сечении. Вертикальные касательные напряжения т в
полках незначительные, поэтому можно считать, что равнодействующая
их в стенке Tcm " Q.
Равнодействующие касательных напряжений ти, действующих в
полках, будут равны
т _ 1 Q{h- t){b - d) Q(h - t){b - df t
"22 J 4 J
Равнодействующие Tn и Tcm дают момент относительно центра
тяжести сечения (рис .10.2).
Найдем на плоскости zOy точку "С", относительно которой
внутренние силы, действующие в поперечном сечении швеллера (Тп и
Тст ), не дают момента. Эта точка называется центром изгиба. Имеем:
141
2Хо =тс
r h t 2~2
= 0
Подставляя в это уравнение выражения для Тп и Тст получим:
Q{h-tf{b-dft
Qe =
AJ
Отсюда находим формулу для определения положения центра изгиба.
А1_______________________
Если внешняя сила Р располагается в плоскости хОу, то она создает момент
относительно центра изгиба, равный М^ = P(e + z0). Внутренние силы (т и
ти) не дают момента относительно центра изгиба. Поэтому отсеченная часть
балки не будет находиться в равновесии. Для равновесия в поперечном
сечении должны возникать дополнительные напряжения хк, которые вызывают
кручение балки.
Открытые тонкостенные профили плохо работают на кручение. Кроме того,
если балка защемлена, то вследствие отсутствия депланации поперечного
сечения в защемлении в балке возникнут также значительные нормальные
напряжения. Поэтому нельзя допускать появления кручения при изгибе балок
тонкостенных профилей.
Очевидно, кручения балки не будет, если внешняя сила Р проходит через
центр изгиба (рис. 10.2)
В симметричных тонкостенных сечениях тоже возникают горизонтальные
напряжения в полках хп. Но они менее опасны, так как не вызывают кручения
