Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
из не входит, благодаря чему вклад от этих пружин имеет вид
И^диаг - 4у- |-^ецй| +4у-^ -е22а) - k2a2{e\l + е\2)
(6.45)
Результирующая энергия равна сумме соотношений (6.43) и (6.45).
Необходимо, однако, принять во внимание, что это - удвоенное значение
энергии деформации, связанной с одним атомом в начале координат,
поскольку на каждый из двух атомов, связанных пружинкой, должно
приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/а3
атомов, то плотность упругой энергии можно вычислить так:
w= Wo + W^' (646)
Упругие постоянные связаны с плотностью энергии W соотношением (6.32).
Чтобы найти компоненты тензора Cijki, нужно сравнить коэффициенты при
соответствующих комбинациях степеней деформаций в (6.46) с аналогичными
значениями в сумме (6.32). Например, множитель при е2г {е\2) одинаков и
равен (1/а) (к 1+2^2), поэтому получаем:
С\ in = С2222 = "(^1 + 2/г2). (6.47)
132
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
Аналогично можно получить:
С'и22 = С'2211 = -• (6.48)
a
С1212 = С2121 = -. (6.49)
a
Все остальные упругие постоянные в кубическом кристалле равны нулю. Ясно
также, что упругие постоянные прямо пропорциональны силовым константам и
обратно пропорциональны длине химической связи (расстоянию между
атомами). Из (6.48) и (6.49) следует, что для принятой модели
взаимодействия атомов посредством только центральных сил должно
выполняться равенство упругих констант:
Си22 = С*1212 (с*12 = С*23 = С*13 = С*44 = Сб5 = Сбб) • (6.50)
Равенство (6.50) носит название соотношения Коши. В табл. 6.2
приведены значения упругих постоянных некоторых кубических кристаллов.
Таблица 6.2. Упругие постоянные кубических кристаллов (10 Па)
Кристалл Cn С12 C4 4
Na (210К) 0,055 0,042 0,049
К 0,046 0,037 0,026
Fe 2,37 1,41 1,16
Al 1,08 0,62 0,28
W 5,01 1,98 1,51
LiF 1,19 0,54 0,53
NaCl 0,486 0,127 0,128
KC1 0,40 0,062 0,062
NaBr 0,33 0,13 0,13
KI 0,27 0,043 0,042
MgO 2,86 0,87 1,48
Si 1,66 0,639 0,796
Алмаз 10,76 1,25 5,76
Из анализа табл. 6.2 следует, что соотношение Коши хорошо выполняется для
ряда щелочно-галоидных кристаллов, следовательно, в этих кристаллах
предположение о центральности сил справедливо. Хуже обстоит дело с
щелочными металлами, но и в этом случае такое предположение приближенно
верно. Однако для ковалентных кристаллов и металлов переходных групп
соотношение Коши не выполняется, что говорит о нецентральности упругих
сил. Следует отметить также, что значения модулей упругости коррелируют с
твердостью кристаллов и достигают рекордных величин для алмаза.
6.6. Упругие волны в кубических кристаллах
133
6.6. Упругие волны в кубических кристаллах
Пусть на элементарный объем кубической формы внутри кристалла действуют
напряжения (рис. 6.9). Пусть напряжение, дей-
Рис. 6.9. Напряжения и силы в элементарном объеме
Тогда на параллельную
ствуютцее на грань ж, равно - (Тц( грань х + Ах действует напряжение
(Тц(ж + Аж)
( \ , 9(711 Л
<т"(г| +
(6.51)
Результирующая сила, действующая вдоль оси ж на элементарный объем, будет
равна
Fi = Fi(x + Аж) - Fi( ж) =
да
11
дх
Ах AS =
да
11
дх
Ах ) AyAz. (6.52)
Необходимо, однако, учесть вклады в силу Fi от напряжений, действующих
вдоль оси у и z. В результате (6.52) примет вид
F =
"Fin <9(712 , да13\ да!k
Н-х 1-х- ) Аж AyAz = --ДК.
дх
ду
dz
(6.53)
Подобно (6.53) могут быть записаны компоненты силы F2 и F3. С другой
стороны, для элементарного объема сумма сил равна произведению массы на
ускорение этого объема:
та = pAV
д2и
W'
(6.54)
где р - плотность кристалла. Сопоставляя (6.54) и (6.53), с учетом
компонент F2 и F3, мы можем записать уравнения движения частиц в твердом
теле, которые в общем виде имеют форму
134
Гл. 6. Упругие свойства кристаллов
Используя закон Гука (6.20) и определение тензора деформаций
(6.14),с учетом суммирования можем представить уравнения (6.55) в виде
Соотношения (6.56) представляют собой систему трех дифференциальных
волновых уравнений, решения которых будем искать, выбрав динамически
меняющиеся во времени и пространстве смещения в виде плоских волн:
где и! - частота, К - волновой вектор, нормальный к фронту упругой волны.
Для случая длинных волн вид закона дисперсии (К) для акустических фононов
особенно прост:
где индекс s = 1,2,3 соответствует продольной и двум сдвиговым фононным
акустическим ветвям, нзв - скорость звука, различная для всех трех мод. С
учетом (6.58) смещения можно представить так:
где пр - единичный вектор волновой нормали, совпадающий по направлению с
волновым вектором. Подстановка решений (6.59) в уравнения (6.56) приводит
к выражению
Соотношения (6.60) - это уравнения Кристоффеля, которые представляют
собой систему из трех однородных алгебраических уравнений относительно
неизвестных щ и являются задачей на собственные значения и собственные
векторы. Уравнения Кристоффеля являются основными для изучения
распространения упругих волн в кристаллах произвольной симметрии.
Возможный вклад в
