Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
пробега частицы А, то можно записать:
Arw=fA=f^ (5-83)
где г - среднее время между столкновениями. Полный поток тепла,
создаваемый движением частиц в обоих направлениях, определяется так:
_ . 9. dT 1 о dT
Q = - n(v )ст -- = -nv ст-. (5.84)
dx 3 dx
Поскольку в модели Дебая скорость всех фононов одинакова, (5.84) можно
представить так:
Q = -^Cv3B(5.85)
где С = пс - теплоемкость, v3B - скорость звука в кристалле. Сравнивая
(5.85) и (5.82), для коэффициента теплопроводности получаем:
x=\cv3B А. (5.86)
Итак, теплопроводность, связанная с фононами, тем больше, чем больше
теплоемкость, скорость звука и длина свободного пробега фононов.
5.2. Ангармонические эффекты в кристаллах 115
Средняя длина свободного пробега фононов определяется в основном двумя
процессами: рассеянием на дефектах решетки; рассеянием фононов на фононах
(фонон-фононным взаимодействием).
Если бы силы взаимодействия между атомами были бы чисто гармоническими,
никакого механизма фонон-фононного взаимодействия не существовало бы, и
средняя длина свободного пробега определялась бы только отражениями
фононов от граничных поверхностей кристалла и рассеянием на дефектах
решетки. Ясно, что чем ниже температура, тем больше относительный вклад
последнего из механизмов рассеяния в силу уменьшения энгармонизма
колебаний кристаллической решетки (табл. 5.2).
Таблица 5.2. Теплоемокость, коэффициент теплового расширения и средняя
длина свободного пробега фононов в кварце и NaCl при различных
температурах
Кварц (вдоль оси Z) 0°С -190°С 2,00 0,55 0,13 0,50 40 540
NaCl 0°С -190°С 1,88 1,00 0,07 0,27 23 100
Теория фонон-фононного взаимодействия достаточно сложна. Одним из ее
результатов является обратная пропорциональность длины свободного пробега
температуре:
А~^. (5.87)
Этот факт согласуется с экспериментом при высоких температурах.
Качественное объяснение зависимости (5.87) следует из того, что функция
распределения Планка для фононов (5.15) при высоких температурах приводит
к пропорциональности числа фононов абсолютной температуре:
п = (--------- ---------- ) к, -^-Т. (5.88)
\ ехр (hu/(kBT)) - 1 J тНи
Частота столкновения данного фонона с другими должна быть пропорциональна
их числу. Тогда, напротив, длина свободного пробега будет обратно
пропорциональной их числу, и выполнение соотношения (5.87) правомочно.
При низких температурах число фононов убывает согласно экспоненциальному
закону, и средняя длина пробега увеличивается
116
Гл. 5. Тепловые свойства кристаллов
при уменьшении температуры также по экспоненциальному закону:
где в - температура Дебая.
Совершенные диэлектрические кристаллы могут обладать столь же высокой
теплопроводностью, что и металлы, где дополнительным источником переноса
тепловой энергии являются свободные электроны. Синтетический сапфир
(AI2O3) имеет одно из самых высоких значений теплопроводности 2 •
104Вт/(м-К). Максимум теплопроводности сапфира оказывается выше максимума
для меди, равного 5 • 103Вт/(м • К).
Задачи
5.1. Определить среднюю энергию гармонического осциллятора согласно
классической теории.
5.2. Вычислить среднюю энергию осциллятора при данной температуре Т для
случая, когда распределение энергии осцилляторов подчиняется статистике
Больцмана. Рассмотреть переход при Т -> оо.
5.3. Показать, что выражение для средней энергии классической системы
может быть записано в виде Е = kBT2d(\nZ)/dT, где Z - интеграл состояния,
который равен
Z = Ц ехр (-E(p,q)/(kBT))dpdq,
р - импульс, q - координата.
5.4. Получить выражения для низкотемпературной решеточной теплоемкости
одномерного и двумерного кристаллов.
5.5. Определить характеристическую температуру в меди, если сжимаемость
0,76 • 10-11м2/Н, а постоянная решетки 3,61 А.
5.6. Найти направления в тригональном кристалле, в которых коэффициент
теплового расширения равен нулю. Компоненты тензора теплового расширения
равны: (Зц = /З22 = -5, 6-10_6К-1, /З33 = 25-10_6К-1.
Глава 6 УПРУГИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
При анализе упругих свойств кристаллов будем считать кристалл однородной
непрерывной средой, не учитывая дискретности его строения. Данное
приближение называется континуальным и соответствует фононному спектру,
взятому при К -> О (А -т- оо) (длинноволновое приближение).
Соответственно, это приближение оправданно при длинах упругих волн,
превышающих 10-6см, что много больше межатомных расстояний, и частотах
менее 1011 -1012Гц.
Эта область частот имеет большое значение для физики твердого тела.
Ультразвуковые волны используют для измерения упругих постоянных,
изучения дефектов строения и энгармонизма кристаллической решетки,
электронной структуры металлов и сверхпроводников. Существуют
многочисленные технологические применения волн ультразвуковых частот:
ультразвуковая дефектоскопия, сварка и очистка металлов, изготовление
эмульсий и т.д.
Ряд уникальных (упругих и пьезоэлектрических) свойств кристаллов нашел
широкое применение в пьезотехнике и акустоэлек-тронике.
