Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Правая часть (4.12) означает силу, действующую в направлении оси а на
ион, расположенный в точке г(^), со стороны иона, расположенного в точке
г (У), смещенного в направлении оси /3. Ма-
(IV \
трица Фа/?( ,) называется силовой матрицей. Коэффициенты фа/з(111)
удовлетворяют условию симметрии
чэ-чэ
Из периодичности кристаллической решетки следует, что коэффициенты
Фafidli) зависят только от разности I - а не от I и V по отдельности,
благодаря чему имеем:
(4-14)
Из того, что потенциальная энергия и силы, действующие на ион, не
меняются при переносе кристалла как целого, следует:
'/Г
1,и
1'У
У>"Д . , =0, (4.15)
?<ц°;)=о. (4.16)
1'У v 7
4.2. Колебания линейной атомной цепочки
79
4.2. Колебания линейной атомной цепочки
Рассмотрим сначала упрощенный случай одномерного кристалла, элементарная
ячейка которого состоит из одного атома мас-
(n-l)a na (n+l)a О О О О О О О О О
a a
Рис. 4.1. Одномерный моноатомный кристалл (а - трансляция)
сы М (рис. 4.1). Пусть имеется взаимодействие только ближайших атомов,
которое определяется силовой константой
д2Ф д2Ф
С=---------------= . (4.17)
дхпдхп+1 дх^дХи у '
Система уравнений (4.12) в этом случае примет вид
MXna = -C(2Xna - X{n+1)a - X(n_!)a). (4-18)
Решение этого уравнения для смещений Хп будем искать в виде бегущей
плоской волны:
Xna = Х0ехр + Kna)), (4.19)
где Х0 - амплитуда смещения, К- волновой вектор упругой волны. Подставляя
(4.19) в (4.18), имеем:
- ш2МХ0 ехр { - + Kna)) =
= С ехр { - + Kna))X0{2 - ехр (iKa) + ехр ( - iKa)). (4.20)
Из (4.20) получаем зависимость частоты колебаний ионов в решетке от
волнового вектора К (дисперсионное соотношение):
о 2С, ,4С о Ка
ш = -(1 - cos Ка) = -sin2 . (4.21)
Mv ' М 2 v '
Из (4.21) следует, что все неэквивалентные значения волнового вектора К
находятся в пределах, определяемых неравенством
- л/а ^ К ^ л/а. Обращаясь к определению вектора обратной решетки (1.36),
для одномерного случая имеем: G = 2л/а. Очевидно, что добавление
вектора G = 2л/а к волновому вектору
К результат (4.21) не изменит. Это важное обстоятельство прак-
тически всегда позволяет ограничиться указанной неравенством
- л/a ^ К л/а областью значений волнового вектора К, которую называют
первой зоной Бриллюэна. Рассматривая определение ячейки Вигнера-Зейтца
(§1.8), можно убедиться, что первая зона Бриллюэна - это ячейка Вигнера-
Зейтца в обратном пространстве. Зависимость и;(К) показана на рис. 4.2.
80
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
При К -т- 0 (предел для длинноволновых колебаний А -у оо, или
континуальное приближение) из (4.21) получается:
Это значение определяет скорость звука в кристалле. Ветвь колебаний
кристаллической решетки, частота которой стремится к нулю в
длинноволновом пределе, называется акустической ветвью колебаний.
Одномерный кристалл, элементарная ячейка которого содержит два атома
массы Mj и М2, изображен на рис. 4.3. Опять бу-
Рис. 4.3. Дисперсионная зависимость для одномерного моноатомного
кристалла (первая зона Бриллюэна)
дем предполагать, что взаимодействуют только ближайшие соседи и с одной и
той же силовой константой С. Система уравнений
(4.12) сводится в этом случае к системе двух уравнений:
Скорость волны вычислим так (в рассматриваемом случае групповая и фазовая
скорости равны):
(4.22)
(4.23)
-nla
nla К
Рис. 4.2. Дисперсионная зависимость для одномерного моноатомного
кристалла (первая зона Бриллюэна)
(4.24)
4.3. Колебания линейной атомной цепочки с базисом, содержащим два атома
Ячейка (п - 1 )а
Ячейка
па
Ячейка (п+ 1 )а
о-0-о-0-о-0-о-0
L__JM2 М1
а
МхХпа = -С(2Хпа - Wna - W(n+1)a), M2Wna = -C'(2Wna - Xna - X(n_1)a).
(4.25)
Опять ищем решение уравнений в виде
Хпа = Х0 ехр + Kna)),
Wna = W0 exp (-i{ut + Kna)),
(4.26)
4.3. Колебания линейной атомной цепочки
81
где Х0 и Wo - амплитуды смещений атомов с массами Mj и М2 соответственно.
Подставляя (4.26) в (4.25), имеем
-uj2MxXо = CW0(1 + ехр (iKa)) - 2СХ0, -u2M2W0 = СХ0( 1 + ехр (-iKa)) -
2CW0.
(4.27)
Система однородных линейных уравнений имеет нетривиальное решение, если
определитель, составленный из коэффициентов при Х0, Wo, равен нулю:
2С - М!0J2
= О,
-С\ 1 + ехр (iKa)]
-С\ 1 + ехр (-iKa)] 2С - М2ш2
MiM2w4 - 2С(М1 + М2Д2 + 2С2(1 - cos Ка) = О, откуда имеем дисперсионное
соотношение:
1± Д1-
Ка
4 Ц . 2
---------------sin -
Mi + М2 2
(4.28)
(4.29)
(4.30)
где fj, = MiM2/(Mi+M2) - приведенная масса. Таким образом, в двухатомном
одномерном кристалле имеются две ветви колебаний. В случае длинноволновых
колебаний (А -> оо) К -> 0 и
sin2(/Ca/2) ра (Ка/2)2, тогда
Т-
4MjM2
Ка
41 л ------
(М\ + М2)2 2
1 -
2MjM2 (Ка (.Mj + M2)2
и для малых /С имеем
1-1 +
2 ji
Mi + M2
Ка
2 С
Mi + М2
Ка
2С
ц
1 -
Ка
Ml + М2 v~2
(4.31)
(4.32)
Из (4.31) и (4.32) видно, что в пределе длинных волн одна из частот
колебаний, так же, как и в случае одноатомной линейной цепочки, стремится
к нулю пропорционально волновому вектору:
С'а2
LO1 =
2 (Mi + М2)
