Основы физики твердого тела. - Зиненко В.И.
Скачать (прямая ссылка):
алмаза пришел к выводу, что ее температурная зависимость может быть
объяснена, если предположить, что энергия кванта упругих колебаний
решетки - фо-нона - имеет тот же вид, что и для фотона:
е = hoj, (4.1)
где и - частота упругого колебания. Пусть кристалл содержит N частиц.
Каждая частица имеет три степени свободы и, таким образом, имеется 3N
колебаний, которые можно представить как ансамбль квазичастиц (фононов).
Тогда энергия п фононов данного типа (моды) упругих колебаний может быть
представлена просто суммой вкладов вида (4.1):
ОО
П
где п - целое положительное число или нуль. Неравенство нулю энергии при
абсолютном нуле, обусловленное наличием в сумме
(4.2) члена с коэффициентом 1/2, связано с энергией нулевых колебаний.
Последние, в свою очередь, обусловлены действием принципа
неопределенности Гейзенберга: локализация частиц при понижении
температуры неизбежно должна приводить к увеличению их импульса
(кинетической энергии). Следовательно, определенные колебания решетки с
минимальной энергией есть и при температуре абсолютного нуля.
п + - ) 1ил,
(4.2)
76
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
Первым экспериментальным доказательством квантования энергии упругих
колебаний решетки была явная зависимость теплоемкости твердых тел от
температуры с обращением этой величины в нуль при абсолютном нуле.
Известно также, что существует неупругое рассеяние фотонов, рентгеновских
лучей и нейтронов определенных энергий, происходящее так, что возникают
или поглощаются фононы, и ряд других экспериментальных свидетельств в
пользу квантового характера колебаний решетки.
4.1. Уравнения движения ионов кристаллической решетки
Атомы или ионы в кристалле не находятся в статическом равновесном
состоянии в узлах кристаллической решетки, а совершают малые по амплитуде
колебания около этих положений равновесия. При обсуждении колебаний
атомов в кристаллической решетке будут использованы некоторые приближения
и предположения:
1. Рассматривается бесконечно большой кристалл, так, чтобы имелась полная
периодичность идеальной решетки. При таком предположении физические
величины, относящиеся ко всему кристаллу, оказываются бесконечно
большими. Однако эти величины можно нормировать на конечный объем, выбрав
надлежащим образом граничные условия. В качестве условий принято выбирать
периодические граничные условия Борна-Кармана:
Ф(К + ЬХ) = Ф(В.),
4>(R + Ly) = 4>(R), (4.3)
4>(R + Lz) = 4>(R),
где 4>(R) - любая функция расстояния в кристалле, a Lx = Lax, Ly = Lay,
Lz = Laz - макроскопические размеры кристалла (ax, ay, az - элементарные
трансляции).
2. Считается, что среднее равновесное положение каждого иона совпадает с
его положением в статической решетке.
3. Принимается, что типичные отклонения ионов от их средних равновесных
положений малы по сравнению с расстояниями между ионами.
4. Используется адиабатическое приближение, в котором предполагается, что
в любой момент времени электроны, в том числе и валентные, находятся в
основном состоянии, отвечающем мгновенному положению ионов. Это
приближение основано на том, что типичные скорости электронов много
больше скоростей ионов, и при смещении иона электроны мгновенно
"подстраиваются" к его новому положению в кристалле.
4.1. Уравнения движения ионов кристаллической решетки
77
Равновесное положение ионов в кристалле будем характеризовать вектором
a r0(V) описывает положение п-го атома в элементарной ячейке.
В результате тепловых флуктуаций каждый атом смещается
Потенциальная энергия кристалла есть сумма парных взаимодействий между
атомами, и при малых смещениях ионов от своих равновесных положений она
может быть разложена в ряд Тейлора по этим смещениям:
Если ограничиться в разложении (4.7) только членами, пропорциональными
вторым степеням смещений атомов, то в этом случае имеем гармоническое
приближение.
В (4.7) Фо - энергия статического кристалла, и производные по смещениям
имеют вид
Индексы а, /3 принимают значения х, у, z, а индекс "О" означает, что
производные вычислены для равновесной статической конфи-
(4.4)
где г0(/) есть радиус-вектор /-й элементарной ячейки: ГО(0 = ^1а1 + ^2а2
+ ^ЗаЗ)
(4.5)
из положения равновесия на величину вектора смещения X (*) = таким
образом, полная кинетическая энергия связанная со смещением всех атомов,
равна
(4.6)
где Mv - масса г/-го атома, Ха = dXa(*) jdt.
1'Уаз
(4.7)
(4.8)
(4.9)
гурации. Коэффициент
имеет смысл взятой с обратным
78
Гл. 4. Колебания кристаллической решетки
знаком силы, которая действует на ион (^), находящийся в точке г(^), в
направлении а. Но в равновесной статической решетке все силы равны нулю,
поэтому выполняется
$"Q=0. (4.10)
Таким образом, в гармоническом приближении функция Гамильтона имеет вид
я = ф"+1?мдФ') +
l,u,a 4 7
Д (4-ID
1'У,Р
v = 1,.. .тг, п - число атомов в элементарной ячейке. Из (4.11) получим
уравнения движения ионов кристаллической решетки
мД"С)=-arm=-Е фГТГ) (4-12)
