Теория тяготения и эволюция звезд - Зельдович Я.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Следующие три проблемы, связанные с отклонениями от сферической симметрии, имеют большое значение для астрофизики:
1. Как будут изменяться с течением времени малые флуктуации материи и гравитационного поля в однородном и изотропном расширяющемся или сжимающемся веществе *)?
2. Как повлияет вращение сверхплотной звезды на ее гравитационное поле?
I 3. Как будет проходить гравитационное сжатие вращающейся
„ 2 GM 0
сплюснутой звезды при уменьшении ее размеров ДО R '~s- Tg = —2— *
*) Движение При условии однородности И изотропии, очевидно, МО?КЦ0 считать сферически-симметричным, 152
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
Сохраняются ли в этом случае качественные выводы, полученные для сферического случая в §§ 4, 5, 9, 10, 12 предыдущей главы?
Первая проблема имеет важнейшее значение для космологии. Интересующихся отсылаем к нашей книге «Строение и эволюция Вселённой». Две другие проблемы связаны с релятивистскими стадиями эволюции звезд и звездных систем. В этой главе будут рассмотрены свойства сильного поля тяготения вращающейся звезды и свойства поля тяготения сжимающегося тела с отклонениями от сферической симметрии и вращающегося. Применение выводов к физике звезд будет дано во втором разделе книги.
Мы начнем с исследования стационарных решений. Поле вращающейся статической звезды является стационарным. Кроме того, оказывается, что многие выводы об изменении поля при сжатии несферического тела также следуют из рассмотрения стационарных решений. Метод малых возмущений рассмотрен Ред-же и Уилером (1957), внешнее поле вращающегося тела найдено Керром (1963). В изложении мы следуем в основном работе До-рошкевича, Зельдовича, Новикова (1965) (в которой развиваются результаты Редже и Уилера) и, как правило, не ссылаемся в дальнейшем на нее, приводя полученные там результаты.
§ 2. Статическое поле с аксиальной симметрией
Статическая задача для аксиально-симметричного поля в вакууме была решена Эрецом и Розеном (1959) с помощью метода Вейля (1917; 1919). Выражение интервала для поля квадруполя с исправленной ошибкой, вкравшейся в работу Эреца и Розена, имеет следующий вид:
Cfe2 = M2 - - |Х2) (J^ + ^2) -
- mV**(А,2 - 1) (1 - Ц2) dtp2,
V = T ff1 + T1^ - ^ - V] lnIT"l № - *)} '
+ І Ф (1 - H2) +H2-I- 9Я>2) In2 ^ +
+ (у + 7(г2 - - 9(1,2?,2) \ Intzl + іA2 (1 - 9(і2) + (|х2 - і-)] .
(4.2.1)
Здесь т — масса тела, создающего поле, q — параметр, характеризующий квадрупольный момент. Единицы измерения выбраны § 2І СТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ С АКСИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ 153
так, что с = 1, G = 1. Поле Шварцшильда — частный случай приведенного решения и соответствует q = О, когда функции я|) и rX принимают значения
Преобразование к координатам, которые на бесконечности являются сферическими и при q = О переходят в обычные шварц-шильдовские, осуществляется заменой *):
% = — — 1, IX = COS 6.
tyl 9 г
Рассмотрим физические свойства решения (4.2.1).
Назовем поверхностью Шварцшильда Sm в стационарном поле
^т. е. при ^v = Oj такую поверхность, на которой g00 = 0.
На этой поверхности: 1) красное гравитационное смещение квантов, уходящих от неподвижного излучателя на бесконечность, становится бесконечно большим, а энергия квантов стремится к нулю; 2) с приближением к Sm ход покоящихся часов, синхронизованных по любому пути с часами на бесконечности, стремится к нулю; 3) обращается в бесконечность гравитационно-инерциаль-ная сила F (см. § 6 гл. 1). Свойства 1), 2) и 3) тесно связаны друг с другом. В поле Шварцшильда, как известно (см. § 2 гл. 3), Sm — это сфера с радиусом кривизны (в единицах, где G=I, с = 1) rg = 2т. Длины
окружностей на о т в аксиально-симметричном поле при условии JJl = const или, что то же, Э = const, равны 2п Ysзз- В случае сферы эти линии являются параллелями и их длина Z YSm ~ Y^ ~~ ^2- В решении (4.2.1) поверхности g00 = 0 соответствует Я = 1. При goo0 компонента g33 имеет асимптотический вид
q QtA2-I)
gsa = A( і-Mgm 2 +
где A — ограниченная функция |д (0< А < const); эту функцию мы ради краткости не выписываем. Бели дф 0, то при g00 0 и ?>0
ёзг~>°° Для 1 >[г2>-і , gS3-+ 0 для0<ц2<1.
*) При отсутствии сферической симметрии выбор удобной координаты г в значительной степени произволен; ее можно было бы определить не так, как в тексте, а, например, как произвольную функцию goo. 154
НЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. 4
Для случая fx2 = V3 при стремлении g00 —> 0, g33 остается константой.
Каждая поверхность g*00 = const замкнута. Вдали от источника поля — это сферы (рис. 24а). При уменьшении g00 форма поверхности искажается. При q О поверхность превращается в две вытянутые по полярной оси «груши», соединенные перемычкой (см. рис. 24а). Каждая поверхность с меньшим g00 = const лежит внутри предыдущей с большим ?00. Благодаря кривизне пространства при уменьшении ^00 площади последовательности вложенных поверхностей, пройдя через минимум, начинают возрастать и при ^00 -»- 0 площади стремятся к бесконечности, а сами поверхности стремятся к предельной двухполостной поверхности |х2 = V3. Каждая из полостей замыкается на бесконечности. Еще раз подчеркнем, что эта предельная бесконечная поверхность ^00 лежит внутри любой поверхности gQQ = const =J= 0, имеющей конечную площадь.
