Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
аттрактора вид (рис. Д3.1). Развитие локальной неустойчивости для
расстояния
D(t) = [(*,(t) - *г(0)*+ (Vi(*) -".(*))*P
между двумя траекториями приведено на рас. Д3.2, а корреляционная функция
I п
R(m) = lim j 2 cos 2я*п+тС03 2л*п n=o
253
изображена на рис. ДЗ.З. Близкая структура странного аттрактора была
получена при разрушении устойчивого предельного цикла в работе [77].
Положения точек А и В на рис. Д3.1, определяющих границы странного
аттрактора, легко определяются особыми точками (Д3.13) следующим образом.
Подстановка (Д3.13) в уравнения (Д3.8) дает, например, при Г > 1 (с
точностью до е-г):
Уа=И{х = xw, у = 0) = ео-г, ув = у{х = х{г\ у = 0) = - ее-г,
хА = х (х = у - 0) = + 2^ Q + -jr cos 2ля(1) = ^ ?2 +
хв = х(х = а(2), у = 0) = х(г) + ^ Q + у- cos 2лг(2) = ^ й + -у - ¦
Отсюда получаем, в частности, ширину странного аттрактора (с той же
точностью)
Лу => max у - min у = у л - у в = 2ео-г.
Уравнепие крпвых в структуре странпого аттрактора легко получить при е-г
<ЗС 1. Из первого уравнения в (Д3.8) следует
у да е_ге cos 2пх.
Исключая с его помощью cos2nz из второго уравнения в (Д3.8) п пренебрегая
в пем величиной у, получаем
* + m°d 1" UI <ее"г. (Д3.17)
Выражеппе (Д3.17) определяет семейство прямых (см. рпс. Д3.1), т. е.
структуру странного аттрактора в первом приближении. В действительности
каждая линия па рпс. Д3.1 при увеличении масштаба изображения
расщепляется на семейство прямых, аналогичное семейству пулевого
приближения. Эта картина повторяется при дальнейшем увеличении масшта-
ба. Поэтому говорят, что странный аттрактор имеет структуру капторова
множества.
При слабой дпееппацпп странный аттрактор слабо отличается от картины
стохастичности в гамильтоновом случае (рис. Д3.4).
Пусть ? > 1 п Г пе слишком велико, так что выполняется условие
стохастичности (Д3.11). С ростом Г чпело линий в структуре странного
аттрактора уменьшается согласно формуле (Д3.17). Вблизи границы
стохастичности (Д3.15) или (Д3.16) происходит последовательность
бифуркаций по параметру K\t. Области стохастичности чередуются с
островками устойчивости (притягивающими циклами). При этом область
существования странного аттрактора уменьшается. На рпс. Д3.5 приведен
пример "умирающего" странного аттрактора. Стохастическая траектория
системы представляет собой траекторию с малым случайным разбросом,
состоящую из трех областей (это хорошо видно из рис. Д3.5).
3.4. Функция распределения на странном аттракторе - пример фрак-талии.
Рассмотрим последовательность точек (хп, уп) на плоскости (х, у),
порождаемую отображением (Д3.8). Они образуют при п-*- оо некоторое
R(n)
ДЗ.З. Корреляцпонпая функция для того же случая, что и на рис. Д3.1.
254
0,2[ .. У
0,1
распределение на странном аттракторе, которое стремится к стационарной
мере р(х, у), наведенной отображением (Д3.9). Вид этой функции
распределения в фазовом пространстве изображен на рис. Д3.6. Странный
аттрактор соответствует тем же параметрам, что и на рис. Д3.1. Функция
р(х. у) имеет на рис. Д3.6 два острых максимума на границах странного
аттрактора (точки А и В на рис. Д3.1). В остальной области функция
распределения флуктуирует вблизи некоторого постоянного значения и
представляет собой типичный пример фракталип. С хорошей степенью точности
можно считать, что сглаженная по малой области функция
р(х, у) " const.
Ситуация здесь та же, что и для модели синус-преобразования nil (4.3.1),
и, более того, если растя- ' Q
V
0,0
-0,1 !-
I
•7 \ •• • *' •I•* •
0,0
0,5
1,0
путь аттрактор вдоль осп х как гармошку, то наведенная на нем функция
распределения аналогична изображенной па рис. 4.4 для спнус-
преобразования.
Такое подобие связано с тем. что при больших Г отображение (Д3.8)
переходит в следующее:
- 1 1 К
х = х 2я (r) 2я Т"cos ^лх' (Д3.18)
которое совпадает с (4.3.1)*).
Д3.4. Странный аттрактор при слабой диссипации (е = 0,3; а = 0,3; Г =
0,85; К = 9,03).
о,ощ
У
о.с
0,5
1,0
Д3.5. "Умирающий" странный аттрактор (е = 0,3; а = 0,3; Г = 5,85; Я =
9,03).
*) Сдвиг на константу й/2л и на х и замена sin на cos несущественны при
ЛУГ > 1.
255
Если теперь увеличивать масштаб, то возникает расслоепие линий странного
аттрактора п соответственно расслоение "хребтов" рельефа на рис. Д3.6,
порождаемое канторовой структурой аттрактора. Пример такого расслоепня в
окрестности границы аттрактора В дан на рис. Д3.7.
Д3.6. Стационарная функция распределения на странном аттракторе.
Д3.7. Расслоение функции распределения в окрестности границы страппого
аттрактора.
Так же, как и в гамильтоновом случае, имеется перемешивание в фазовом
пространстве. Его можно установить, вычисляя корреляционную функцию фаз
О. Однако при больших Г отображение для фаз отщепляется от у и
описывается уравнением (Д3.18). В этом случае соответствующий коррелятор
уже вычислен. Действительно, уравнение (Д3.18) совпадает с
256
уравнением (41.14) *). Поэтому при К/Г > 1 коррелятор (4.1.15)
экспоненциально затухает со временен расцепления корреляций
