Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
[Я, Я"] ¦= О, [Я, Я,] = 0, (7.10)
где через Н обозначен резонансный гамильтониан системы атомы + поле:
Я = Я0 + ЯГ. (7.11>
Из (7.10) следует, что в резонансном приближении (7.11) можно ввести два
независимых квантовых числа и выразить энергию как функцию этих чисел.
Существование полного набора (двух) интегралов движения позволяет также
получить в резонансном приближении (7.11) точное решение (см. обзор
[193]). Это решение описывает периодическую со временем перекачку энергии
из атомов в поле и обратно. Фазовое пространство системы имеет особую
траекторию - сепаратрису (см. ниже), которой соответствует полное
преобразование энергии из атомов в поле или обратно. Поэтому влияние
отброшенного нерезонансного члена Наг может оказаться существенным.
Для дальнейшего исследования системы вернемся снова к по-луклассическому
гамильтониану системы С в форме (7.7).
237
Обозначим через
J, = + .^2
ю
чпсло фотонов системы, приходящихся на один атом. В резонансном
приближении согласно (7.10) сохраняется величина
Н"*=у + п, (7.12)
имеющая смысл полного числа фотонов. Введем новые переменные /" ф, и /т,
фга:
8 - (/,/(c)),/2 cos ф" & = - (<o/.)l/2 sin ф"
(7.13)
т - cos фт, т - - ((c)/ra)i/2 sin фт.
Тогда уравнения (7.4) могут быть переписаны в следующей канонической
форме:
je = - = - -j- (c)Л (7г/т)1/а (sin -ф + sin ф),
<f, " Ij- = 0) - -i- (c)A (cos г|? + cos ф),;
jm= 2п-0-= - ошЛ (/"/т)1/2 (sin г|? - sin ф),
вс 1 I1 V/a
Фт = - 2ngJ- = (d+ Y \,Г J (C0S ^ + C0S У)'
где роль гамильтониана играет величина С = огС и обозначено ¦ф = ф, - фт,
ф=фе + фт. (7.15)
Кроме того, в новых переменных
(7.16)
Без ограничения общности можно положить в (7.16) г = 1, так как замена
у у/г, п п/r, т т/r, т т/r, р р/r, Л ArI/l
убирает величину г из системы (7.14). Кроме того, из (7.14) и (7.15)
видно, что резонансное приближение связано с пренебрежением всеми
членами, содержащими фазу ф.
(7.14)
Рис. 12.5. Поверхность постоянной энергии С = I в фазовом прост-раястве
(у, Ь = агссоз п, Л): 1 - Г &о<1; 2-Н9>1; 3 - Ио = 1*
-30° -30' 30* 30° ISO* 2W у
Рис. 12.6. Точки одной траектории, взятые последовательно через период
поля при С = 1, Л = 1,8.
Рис. 12.7. Стохастическая траектория на плоскости (л, у) при С = 1, Л =
1,8.
Сепаратрисе в перезонапсном приближении соответствуют значения H0=zC = 1.
В работе [192] было показано, что при малых значениях Л учет
нерезонансных членов в системе (7.14) приводит к образованию узкого
стохастического слоя в окрестности сепаратрисы. Однако ситуация
изменяется при Л ^ 1, т. е. при сильной связи поля с атомами. В этом
случае все фазовое
пространство становится областью стохастического движения. Приведем
соответствующие численные данные, полученные в [192] интегрированием
системы (7.14).
На рпс. 12.5 изображена поверхность постоянной энергии, на которой
расположены замкнутые траектории системы в резонансном приближении. При
учете нерезонансного члена с А^1 траектории становятся стохастическими
(рис. 12.6), а интеграл движения Н" (7.12) также разрушается
стохастически (рис. 12.7). При отсутствии перезонанспого члена, согласно
(7.12), у + п = = const (прямая на рис. 12.7). Для полной системы (7.14)
величина Я0 является случайно меняющейся фупкцией времени. На рис. 12.7
точки изображают пару значений (у, п), взятых последовательно на одной п
той же траектории при Л ^ 1 с интервалом времени в один период поля.
Наконец, рпс. 12.8 иллюстрирует развитие локальной неустойчивости.
Из приведенных результатов следует, что значение константы взаимодействия
(7.5) в системе атомы + поле, равное Л ~ 1, отделяет область (Л< 1)
существования почти во всем фазовом пространстве полного набора (двух)
интегралов движения от области <Л^1), где один из интегралов движения
стохастически разрушен и остается только интеграл полной энергии.
§ 12.8. Внутримолекулярный обмен энергии
Два предельных случая обмена энергии. Возбужденные молекулы.
Предиссоциация и образование молекулярных связей
В этом параграфе мы лишь кратко отметим новое направление в исследованиях
внутримолекулярных связей, которое развивается в последнее время.
Обычная интерпретация, например, процесса диссоциации молекулы при
мономолекуляриых реакциях связана с двухступенчатым процессом: энергия
тем или иным способом передается в какие-либо колебательные степени
свободы и потом в результате
Рис. 12.8. Зависимость от времени т расстояния D в единицах периода поля
между начально близкими траекториями (С.="1): 1 - А = 0,9; 2 - А = 3.
240
внутримолекулярного обмена с другими степенями свободы накапливается в
некоторой критической моде. В результате этого возникают условия, при
которых может происходить химическая реакция. Существуют два предельных
способа описания возбуждения колебательных степеней свободы молекул.
Теория Слэтера [194] основана на введении квазннормальиых колебаний,
число которых равно числу степеней свободы. В ней практически отсутствует
