Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
энергией Е и Е + ДЕ на расстоянии ДЕ друг от друга должна стремиться к
нулю при ДЕ -*¦ 0 (принцип "отталкивания" уровней). Это озиачало
существование сильной корреляции между близкими уровнями. Поэтому
распределение расстояний между ними не могло носить характер обычных
вероятностных распределений, например пуассоновского ехр (-const |Д?|)
илн гауссовского ехр (-const [Д?]2).
Статистическая теория распределения уровней была построена в работах
Вигнера, Портера и Дайсона следующим образом. Подобно тому, как в
статистической механике вводится определенная гипотеза о статистическом
ансамбле состояний, в основу статистической теории энергетического
спектра была положена следующая гипотеза: распределение уровней энергии
Ек эквивалентно распределению собственных значений Хк ансамбля случайных
матриц определенной симметрии. Будем называть это предположение
"гипотезой % - Е эквивалентности" (ком. 4). Более аккуратная ее
формулировка выглядит так. Рассмотрим очень большую последовательность
уровней. Выберем в ней область, содержащую также большое число (т> 1)
уровней. Теперь расположим на единичной окружности собственные значения,
например, унитарной матрицы очень высокого порядка со случайными
элементами. Выберем на окружности дугу, содержащую примерно т собственных
значений. Тогда гипотеза Х - Е эквивалентности состоит в том, что
распределения, полученные для подсистемы из т уровней и т собственных
значений, совпадают.
Несмотря на некоторое различие в выборе начальных распределений
(гауссовская мера у Вигнера п Портера и мера на группе у Дайсона),
конечный результат для функции распределения расстояний между уровнями
Р(Е\АЕ) в обеих теориях одпн и тот же:
Р(Е\АЕ) = а\АЕ\а ехр [- Ъ(АЕ)2]; (1.16)
здесь а и Ь - некоторые, слабо зависящие от Е функции*), а
критический показатель а принимает значения 1, 2 или 4 в за-
висимости от типа симметрии системы.
Наиболее существенной является структура распределения при АЕ -*¦ 0:
Р(Е\АЕ) ~ |ДЯ|", а = 1, 2, 4 (Д?->0). (1.17)
*) В теориях Вигнера - Портера и Дайсона имеется слабое различие величин
а и 6, однако различие в значениях Р при этом не пропитает нескольких
процентов.
214
Формула (1.17) определяет закон расталкивания уровней. Под пределом АЕ -
*¦ 0 следует понимать неравенство
ДЯ/<ДЯ> < 1, (1.18)
где <ДЕУ есть среднее расстояние между соседними уровнями.
Гипотеза % - Е эквивалентности не была очевидной, и основной аргумент в
ее пользу был связан с тем, что распределение собственных значений
ансамбля случайных матриц обладает свойством расталкивания, т. е. таким
же свойством, каким должно обладать распределение уровней энергии. Однако
основной вопрос о том, какие физические причины приводят к случайному
распределению уровней, оставался неясным. В теории Вигнера - Портера -
Дайсона отсутствие информации об этих причинах компенсировалось введением
некоторого расплывчатого понятия о существовании "черного ящика
взаимодействий". Аргументация к "сложности" системы также была
неудовлетворительной, ибо само определение "сложности" происходило из
наивного представления о системе с большим числом степеней свободы.
Сейчас нам уже известно, что статистические свойства могут возникнуть
даже в системе с двумя степенями свободы, в то время как в системе с
большим числом степеней свободы они могут не обнаружиться, если не
выполнен критерий стохастичности.
Приведенные замечания являются лишь следствиями основного недостатка
гипотезы % - Е эквивалентности: эта гипотеза никоим образом не использует
информацию о конкретных динамических свойствах системы.
Таким образом, возникает задача об определении функции распределения
Р(Е\АЕ) из первых принципов, т. е. из уравнений движения системы. Далее
мы увидим, что решение этой задачи приводит к принципиально иному
результату, чем (1.17) [73, 136-138].
§ 12.2. Постановка задачи
Формулировка задачи. Понятие о сериях уровней. Регулярный и нерегулярный
спектры. Понятие о "сложности" системы. Статистический ансамбль уровней
Нас будет интересовать далее следующая задача: каким должен быть
энергетический спектр квантовых Я-систем? Этот вопрос возникает сразу при
попытках квантовання классических К-систем. Однако предыдущий параграф
показывает, что описанные два направления развития теории энергетических
спектров также приводят, по существу, к той же задаче.
Общие закономерности в структуре спектра можно установить в некоторой
достаточно большой области значений энергии такой, что в ней содержится
много энергетических уровней. Это означает, в частности, что мы попадаем
в область квазиклассич-
215
ности, п поэтому решение задачи об энергетическом спектре квантовых /f-
систем естественным образом должно определяться динамическими свойствами
соответствующей классической системы.
Из формул (1.4), (1.5) и (1.7) следует, что в квазиклассиче-ском
приближении
g (Е) tv const j* dq 2 ехр [у-^с (?, ЧI Я)]. (2.1)
где С обозначает любую классическую периодическую траекторию,
