Стохастичность динамических систем - Заславский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
для dS является полным дифференциалом и, следовательно, интегрирование в
(1.6) может быть произведено по любому контуру с началом в точке q' и
концом в точке q". Следующее упрощение при вычислении интеграла (1.4)
[168] связано с тем, что величина S/Ъ > 1, и поэтому функция g(E) должна
определяться в классическом приближении точками, где величина 5 имеет
экстремум, т. е.
dS(q, q\E)Jdqi = 0.
Вычисление производной дает
dS (д, д\ Е) Г05 (<Л q'\ Е) dS (<?", д' 1 Е) ] =
** [ **; J
= pet-p'i = 0, (1.7)
14*
211
* 0
где Pi и pi - импульсы частицы соответственно в начальной ? конечной
точках контура интегрирования в формуле (1.6).
Результат (1.7) означает, что в выражении (1.4) для g(E) действие должно
вычисляться по таким траекториям системы, у которых совпадают начальные и
конечные координаты и импульсы. Другими словами, основной вклад в функцию
отклика g(E) дают все возможные периодические траектории. Подобный способ
вычисления g(E) уже содержит упрощения, однако все еще остается
достаточно сложным. Это связано с тем, как устроены траектории TV-мерной
системы и, в частности, периодическпе траектории. Как уже отмечалось (§
1.4), траектория системы является обмоткой TV-мерного инвариантного тора.
Таковы все траектории, за исключением тех траекторий, которые лежат на
множестве нулевой меры резонансных торов. Эти траектории действительно
являются замкнутыми. Наоборот, все остальные траектории являются
незамкнутыми и эргодпчески покрывают поверхность тора. Вследствие этого,
если выбрать любой малый элемент объема dq и вывести из него траекторию
системы, то через некоторое время она в него вернется с любой, наперед
заданной степенью точности. Если к этим сведениям добавить еще, что само
выражение (1.5) является асимптотическим и допускает определенную
размазку траекторий*), то произведенные нами упрощения покажутся весьма
сомнительными.
Однако все упрощается благодаря свойству потенциальности S, т. е. тому,
что dS является полным дифференциалом. Вместо периодического контура
вдоль траектории системы можно выбрать топологически замкнутые в фазовом
пространстве (р, q) орбиты П, т. е.
Sn(q, g|?) = $2 Pidq{. (1.8)
п 1=1
Теперь выражение (1.5) может быть представлено в виде
g (Е) да const J dq 2 ехр 5П(?) (Я)]. (1.9)
где П(д) - замкнутый контур, проходящий через точку q. Учтем, что контур
П(д) может быть представлен в виде суммы произвольного числа неприводимых
контуров С", введенных в § 1.4 (см. также рис. 1.2). Тогда
П(д) = 2т*А. ft=i
где (тк) - произвольный набор из N целых неотрицательных чисел. На рис.
12.1 дан пример для случая = 3, тг = 2, тк = 0
*) Интегрирование в действительности производится по некоторому узкому
пучку траекторий.
212
(к = 3, N). Из определения /* в (1.2) и формулы (1.6) следует,
что для контура П(д), определенного формулой (1.10), действие Sa равно
N
Sn(E) = 2n'2lmhIh(E). (1.11)
ft=i
Обратим внимание на то, что величина Sa(E) в (1.11) не зависит от д.
Таким образом, интегрирование в (1.9) сразу выполняется и дает
оо оо Г N -1
g (Е) = const- У 2 • • • 2 ехР Гг2 m^h (Е) • т,=О ш"=о L fc=l J
. _ . <U2>
mN=o
где У - объем iV-мерного тора, определенного значениями действий (/i,
..., /*). Выражение (1.12) факторизуется:
g (Е) = const-У* gi (Е) g2 (Е) ... gN (Е),
(U3)
gk(E)= 2ехр[тте/л(Ы
т=о
Выполняя суммирование в (1.13), получаем окончательно
g (Е) = const-У- П (l - ехр Ih (JE)])"1. (1.14)
Отсюда следует, что полюса функции отклика g(E) определяются условиями
(1.2), которые и есть правила квантования Эйнштейна (ком. 3).
Последний шаг заключается в том, чтобы в формулу для гамильтониана
#(/"/"...,/")=? (1.15)
подставить выражения (1.2). Результат определяет iV-параметриче-ский
спектр собственных значений Е.
На всех этапах вывода этих с,
правил существенно использовалось условие существования инвариантных iV-
мерных торов в фазовом пространстве, на которые навиваются траектории
системы. В стохастическом случае часть или все инвариантные торы
разрушены и очевидно, что необходим другой подход. ^ИС- ^.1. Замкнутый
контур, ' т" " состоящий из трех неприводи-
К числу идеи, предшествовавших ^ ^туров С, и двух не-
постановке задачи о квантовании приводимых контуров Сг. стохастических
систем, следует также отнести результаты работ совсем иного рода. Эти
работы представляли собой попытки решения вопроса о распределении
энергетических уровней очень сложных систем. При достаточно большой
энергии возбуждения тяжелых ядер структура их энер-
213
гетического спектра очень сильно искажается, п последовательность уровней
энергии становится в значительной степени нерегулярной. В этом случае
статистическое описание распределения уровней становится более адекватным
реальности. Авторами этой идеи Вигнером 1171] п Ландау и Смородинским
[164] была указана одна принципиальная особенность, связанная с
необычностью рассмотрения энергии как случайной переменной: для уровней
одной симметрии вероятность Р(Е\АЕ) обнаружения двух соседних уровней с
