Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(00)
— ё\*ч 2eZvtZv.
Напротив, в случае е = 0 соответствующее поле тяготения принадлежит к типу N или III. Это следует из результата Керра и Шилда, показавших [141], что для метрики (9.8) выполняется соотношение
Ra?yb ZaZ5 = Hl?lf.
Более того, из условия 8 = 0 вытекает, что H = 0, и следовательно, в этом случае метрика (9.8) удовлетворяет критерию Беля (5.20). В этом последнем случае, как мы увидим ниже, метрика Керра — Шилда описывает плоские гравитационные волны.
3. Плоские гравитационные волны. Определение Кундта
Общековариантное определение плоских гравитационных волн было введено двумя различными способами Бон-ди — Пирани — Робинсоном [143], Пенроузом [144] и Кундтом [137, 145-147].
Согласно определению Кундта, метрика пространства—времени V4Onucueaem поле плоских (или «плоскофронто-вых») гравитационных волн, если данное V4 допускает изо-тропное векторное поле Za, удовлетворяющее уравнениям (9.1) — (9.2) и условию
Zfa = 0. (9.10)
Как мы уже знаем, эти требования ведут к тому, что траектории вектора Za оказываются изотропными геодезическими. При этом первое требование, выражаемое уравнением (9.1) (условие существования фронта волны), означает, что форма тени, отбрасываемой предметом на экран, расположенный ортогонально лучам (траекториям Za),
104 не деформирована так, как если бы предмет подвергся повороту относительно своего истинного положения; второе, выраженное уравнением (9.2),—что она не деформирована так, как если бы предмет претерпел сдвиг, и, наконец, третье, т. е. условие (9.10),—что тень не увеличена и не уменьшена в размерах по сравнению с самим предметом (см. [71, 131, 148]).
Таким образом, Кундт в своем определении учел основные свойства, с которыми мы знакомы по опыту исследования плоских электромагнитных волн в пространстве — времени Минковского, где фронт плоской волны параллельно смещается вдоль ортогональных к нему траекторий распространения света, не подвергаясь никаким искажениям.
Шевретон [149] показал, что удовлетворяющее определению Кундта поле плоских гравитационных волн в пустом пространстве F4 может принадлежать только к типу О (тривиальный случай, Ra$yb = 0), к типу N или к типу III по Петрову. Если оно принадлежит к типу N1 то вектор Za является ковариантно постоянным: Za;? = 0.
Все пустые пространства F4 типа N1 допускающие ковариантно постоянное векторное поле Za, известны [105, 150] и образуют класс решений уравнений Эйнштейна, определенных с точностью до интегрирования некоторой системы дифференциальных уравнений. На исследовании плосковолновых решений этого типа мы подробно остановимся в следующей главе.
Кундт же получил и другой класс решений уравнений поля в пустом пространстве [137], соответствующих плоским волнам в смысле введенного им определения. Среди решений этого класса есть как поля типа N1 так и поля типа III по Петрову.
Метрика Кундта получена в изотропной тетраде, т. е. изотропном квазиорторепере {Za, 7a, Za, ma}, векторы Za и та которого вещественны, а векторы Pl и Ia комплексно сопряжены, причем ZaTTia = tata = 1:
ds2 = I dz + Bdu I2 + 2 dvdu + H du2, (9.11)
где z — X + Iy1 а В я H — вещественные функции координат причем
J9,v = 0, BiXX + Btyy = 0, # = + AiV = 0,
(9.12)
A9XX + Atyy + 2 BBtxx+3 BtXBiX — 2 Btxu+ Bty Bty = 2 т.
105 Здесь линии и временноподобны, а скаляр т определяется уравнениями (6.15). В пустоте т = 0, откуда, ввиду изотропности Za, следует, что для непустого пространства — времени метрика (9.11) отвечает случаю электромагнитного излучения. Общие траектории распространения электромагнитных и гравитационных волн (линии тока изотропного векторного поля Iа) совпадают с координатными линиями V; иными словами, при выборе координаты v в качестве аффинного параметра на конгруэнции изотропных геодезических, последние выражаются уравнениями
IS- = (9ЛЗ)
а фронт волны определяется гиперповерхностью и=const.
Метрика Кундта (9.11) является частным случаем класса метрик, полученных им в работе [137]. Этот класс по Кундту описывает плоскофронтовые гравитационные волны, отвечающие более общим условиям, когда вектор Za — не обязательно нормальный, т. е. не ограничен требованием Z[a; ?] = 0.
В случае т = 0 (пустое пространство — время) принадлежность метрики Кундта к типу N по классификации Петрова определяется условием В = 0. Согласно приведенной выше теореме Шевретона, при B= 0 метрика Кундта описывает пространство — время, допускающее ковариант-но постоянное векторное поле Za. На исследовании таких пространств F4 мы подробно остановимся в следующей гл. 10.
4. Плоские гравитационные волны.
Определение Бонди — Пирани — Робинсона
Как показали Гольдберг и Kepp [151, 152], асимптотическое поведение гравитационных полей, создаваемых изолированными источниками, обнаруживает большое сходство с поведением плоских электромагнитных волн в пространстве — времени Минковского.
Этот результат можно рассматривать как мотивировку предпринятой Бонди, Пирани и Робинсоном [143] попытки дать строго групповое определение понятия плоских гравитационных волн в пустом пространстве как метрического поля, удовлетворяющего двум постулатам: 1) поле одинаково в любой точке волнового фронта, 2) метрический тензор пространства — времени, подобно вектор-потенциалу
