Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
?Y = 0 (8.1)
(теорема Дебеве [66] в формулировке Сакса [110]). Определим, следуя Дебеве, тензор суперэнергии
Va?XH, = |-р [(VxlX + g^Pa? + g^P^ + +
96 1
+ WalI + *aA) " Г ' (8'2)
где p — произвольный не равный нулю скаляр и введен полностью симметричный тензор
La?Xu, = ^Z P ^a I?* Ik ZyL (8.3)
(L, М, N, Q)
в котором P обозначает суммирование по всем перестанов-
91 нам индексов. Кроме того, в (8.2) фигурируют величины
L = Ь\, ЬцJ1 == Ьъ.цх, Рщ = JJ L^vt —
причем предполагается, что L ф 0.
Тензор Дебеве (8.2) в пустом пространстве — времени обладает следующими свойствами [81]: 1) он полностью симметричен; 2) всякая его свертка с метрическим тензором равна нулю:
= 0; (8.4)
3) тензор Va?x\i является консервативным:
Vi^1l = Oi (8.5)
4) тензор Va^ удовлетворяет алгебраическому тождеству:
(I-Se) 61 (8.6)
где
с _ ! о (/23)2 (/14)2 + (/із)2 (/24)2 + (/12)2 (/34)2
(/23/14 + /13/24 + /12/34)^ '
Z(MiV) = ga? I(M)Z(N)'
Легко видеть, что по своим свойствам тензор Дебеве (8.2) обнаруживает глубокое сходство с тензором суперэнергии Беля (5.3). Переходя в канонический орторепер и задаваясь конкретным видом изотропных векторов Za, можно показать, что с точностью до скалярного множителя оба тензора совпадают:
Va?Xy = Ta?-kp.
Отсюда следует, что тензор Дебеве, как и тензор Беля, можно положить в основу определения «потока суперэнергии» гравитационного поля. Таким образом, критерий Дебеве полностью эквивалентен первому критерию Беля.
2. Гравитационные волны интегрируемого типа (критерии Хэли и Зунда — Левина)
В работах Хэли [111—117], а также Зунда и Левина [118—120] гравитационные волны определяются по Лих-неровичу, но при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на метрику пространства — време-
92 ни. Хэли, осуществляя идею Лихнеровича [62], рассмотрел поля тяготения, удовлетворяющие критерию «гравитационных волн интегрируемого типа» 1J.
По определению, пространство — время V4 описывает гравитационные волны интегрируемого типа, если оно допускает векторное поле Za, удовлетворяющее, кроме уравнений (6.10) — (6.11) и вытекающего из них условия изотропности Za, также условию градиентности
la = SaI9 (8.7)
где Z — некоторая скалярная функция координат.
Примером свободных гравитационных волн интегрируемого типа может служить поле тяготения, описываемое метрикой [113]:
(00)
Sa? = *a? + 2<ZXZaZ?, (8.8)
(00)
где ga? — метрика плоского пространства — времени,
1>*-та/ъ г dl -t- X д1 , ZaZa = о, Zfa = о,
и fy — пять произвольных функций аргумента Z, q — скаляр.
Пример поля тяготения, отвечающего случаю полного гравитационного излучения интегрируемого типа, рассмотрен в работах [114, 115]. Соответствующая метрика записывается в виде
(00)
Sa? = Sa? + + hU*> (8-1°)
где векторы ua и Za (8.7) удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений, вытекающих из уравнений (6.10) - (6.11).
Зунд и Левин [119] ввели определение «полного гравитационного излучения специального типа»: пространство — время V4 отвечает случаю полного гравитационного излучения специального типа, если данное F4 1) является конформно плоским, 2) допускает ковариантно постоянное векторное поле Za, удовлетворяющее условиям Лихнеровича
1J В терминологии Хэли — Лихнеровича — «de type inte-grable».
93 (6,10)-(6.11), а также уравнениям
la = (In T),e> (8.11)
где т — скаляр, определяемый вытекающей из уравнений (6.10) — ,(6.11) системой уравнений (6.15).
Этому определению удовлетворяет значительно более узкий класс полей тяготения, чем класс полей, описывающих полное гравитационное излучение интегрируемого типа по Лихнеровичу. Действительно, нетрудно показать, что метрики, описывающие полное гравитационное излучение специального типа, должны быть представимы в виде [119]
(00)
ga? = a-V(b)ga?, (8.12)
X = х° + X1f а2 = const ф 0,
где функция ф (X) удовлетворяет условию
ф (X) ф (cd2 + 2?b + у)-\
а а, ? и у — числовые коэффициенты. При этом компоненты вектора Za задаются в виде (8.11), скаляр т имеет вид
т ~ 2 ф"~6 [2 (ф')2 — фф"] Ф const, (8.13)
а штрих обозначает дифференцирование по X.
Как отметили Зунд и Левин, не всякое поле тяготения, являющееся полем полного гравитационного излучения в смысле Лихнеровича и уравнений (6.10) — (6.11), удовлетворяет критерию Зельманова и уравнению (7.4). Однако всякое полное гравитационное излучение специального типа в смысле Зунда и Левина, как можно показать [119], автоматически удовлетворяет критерию Зельманова. Последнее обстоятельство представляет интерес для выяснения связи критериев Зельманова и Лихнеровича в случае непустого пространства — времени.
3. Критерий Малдыбаевой
Критерий гравитационных волн, предложенный Малдыбаевой [121], основан, как и критерий Зельманова, на об-щековариантном обобщении оператора Даламбера. Однако, в отличие от оператора (7.1) , для описания гравитационных волн применяется оператор де Рама [42]
д = do + od, (8.14)
94 где<1 — оператор внешнего дифференцирования (см. [122]), а б — оператор ко-дифференцирования (см. [42]), т. е. взятия дивергенции косых дифференциальных форм.
