Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Главными векторами тензора Римана называют-
ся направления пересечений пар двумерных поверхностей, определяемых собственными векторами тензора Rabi0"* Ь = 1, 2,..., 6) в бивекторном пространстве Rq (следовательно, бивекторами в физическом пространстве F4). Число главных векторов Римана и их ориентацию можно установить, зная собственные направления тензора Rab в /?6. Так, типу I диаграммы Пенроуза (3.20) отвечает один главный вектор, причем временноподобный, типу D — два изотропных и один временноподобный главный вектор; для типов II, III, N существует единственный, причем изотропный, главный вектор.
Введем теперь, следуя Пирани, определение: наблюдатель следует за гравитационным полем, если его 4-вектор скорости совпадает с временноподобным главным вектором Римана.
Очевидно, наблюдатель может следовать только за гравитационным полем, главный вектор которого временно-подобен, т. е. за полем типа I или типа D. Что же касается полей типов II, III и iV, то наблюдатель, следуя за таким гравитационным полем, должен был бы иметь изотропный 4-вектор скорости, т. е. двигаться со скоростью света.
66 Мы можем теперь принять следующее определение изотропного поля тяготения: гравитационное поле является изотропным, если тензор кривизны RaQyb не имеет вре-менноподобных главных векторов Римана.
Из сказанного вытекает, что изотропными гравитационными полями являются поля типов II, III и Nj и только они. Мы приходим, таким образом, к формулировке критерия существования гравитационных волн по Пирани.
Критерий Пирани. В данной области пустого пространства — времени V^существуют свободные гравитационные волны, если в этой области тензор Римана принадлежит к одному из типов II, N и III диаграммы (3.20); в других случаях гравитационные волны отсутствуют.
3. Пример. Волновые поля тяготения Уаймэна — Троллопа
Итак, определение состояния свободного волнового гравитационного поля, основанное на критерии Пирани (как и на других критериях, обсуждаемых ниже), тесно связано с выяснением принадлежности данного поля тяготения к тому или иному типу по классификации Петрова. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть известные в настоящее время решения уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, принадлежащие к типам II, N и III.
Значительную часть решений такого рода (решения Переса, Такено, Петрова, Робинсона и Траутмана, Кундта и др.) мы будем обсуждать в последующих главах при анализе других предложенных критериев гравитационных волн (в пустоте или в среде, заполненной электромагнитным излучением). Для иллюстрации критерия Пирани мы рассмотрим полученный недавно Уаймэном и Троллопом [72, 73] класс решений уравнений Эйнштейна, не совпадающий с упомянутыми решениями либо существенно обобщающий их.
Классу решений Уаймэна — Троллопа отвечает метрика
2 а 1 ? г
1 0 0 0
? 0 е-т 0
Г 0 0 <?-'
3* 67 где
? = Ix2 + Io• T = IF2 + TJ о,
а ті, rjo, ol и т — функции координат х°, X14 х3, причем ? — функция, гармоническая по х1 и
?,ii + ?,33 = О,
а у — функция, гармонически сопряженная с ?. Метрика (4.6) получена с использованием разложения в орто-репере по четырем вещественным векторам (см., например, [74]), один из которых — изотропный вектор Za — предполагается гармоническим.
Для ряда частных случаев Уаймэну и Троллопу удалось проинтегрировать уравнения поля в пустом пространстве (2.2) относительно метрики (4.6). Они выделили три специальных случая:
A. I2 + г)2 = О,
B. I2 +T12^=O, а,22 = 0,
C. + г]2 ф0, Tlll +т,зз = 0.
Можно показать1), что случаи AmC отвечают полю типа III, а случай В — полю типа II диаграммы Пенроуза. Если же функции I и т] таковы, что ? и Y не зависят от х2, то данная метрика (в вакууме) относится к типу ^(вырожденному типу 2 по классификации Петрова). В последнем случае Za совпадает с вектором Киллинга, определяющим группу сдвигов этого пространства — времени вдоль координатных линий X2. Геометрически траектории этого вектора интерпретируются как бихарактеристики уравнений Эйнштейна.
ГЛАВА 5 КРИТЕРИИ БЕЛЯ
1. Тензор суперэнергии
Критерий существования гравитационных волн, предложенный Белем [56, 68, 76—80] (см. также Дебеве [81]), как и критерий Пирани, опирается на представления об
Соответствующие расчеты были проделаны JI. Б. Григорьевой. Она же показала, что рассматриваемая в работе Троллопа
[73] метрика, отвечающая случаю негармонического вектора распространения Za, совпадает с известной метрикой Робинсона —-Траутмана (см. гл. 9).
68 аналогии с теорией электромагнитных волн. Но, в отличие от критерия Пирани, первый критерий Беля, которому мы посвятим этот параграф, основан на определении «тензора энергии» (точнее, «суперэнергии») гравитационного поля. В аналогии с тензором энергии — импульса электромагнитного поля (2.30) такой «тензор суперэнергии» должен, очевидно, выражаться конструкцией, квадратичной относительно тензора Римана Наруь-
Итак, пусть данное V4 есть пустое пространство — время, так что уравнения Эйнштейна имеют вид (2.2), и пусть тензор Ba?y8 имеет в качестве кососимметричных пар индексов a? и yo. Введем два новых тензора, дуальных тензору #a?v&:
