Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна - Захаров В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Тип по Уравнения
Петрову для векторов Дебеве
N или [4] Cafrbla = 0 (3.29)
III или [31] CxrY;[iPhj\ — 0 (3.30)
II, D или [211], [22J Сф<[ь1,лм< = 0 (3.31)
I или [1111] (3.32)
Легко видеть, что вектор Z(W)7 удовлетворяющий какому-то из уравнений (3.29) — (3.32), автоматически удовлетворяет и всем последующим уравнениям. Поэтому принадлежность поля тяготения к тому или иному типу определяется двумя обстоятельствами: 1) вектор Дебеве JfiV) удовлетворяет данному уравнению из ряда (3.29) —
63 (3.32) и 2) этот вектор не удовлетворяет ни одному из предыдущих уравнений указанного ряда.
До сих пор мы рассматривали поля тяготения общего вида, классификация которых характеризуется алгебраической структурой тензора Вейля Ca?Yg. В пустом пространстве—времени тензор Вейля совпадает с тензором Римана i?a?vs; соответственно, в классификации (3.28) — (3.32) вместо Сa?Ys будет фигурировать ПрОСТО Aa?vS«
В дальнейшем поля типа I, отвечающие максимально общему виду взаимной ориентации векторов Дебеве, будем называть алгебраически общими, а поля остальных типов — -D, II, N и III — алгебраически специальными; смысл этих названий ясен из подхода Дебеве — Сакса.
ГЛАВА 4 КРИТЕРИИ ПИРАНИ
1. Изотропное электромагнитное поле
Первая попытка дать общековариантное геометрическое определение концепции гравитационных волн в пустом пространстве на основе классификации Петрова была предпринята Пирани [262] в 1957 году (см. также его работы [69—711). Определение Пирани основано на двух постулатах в соответствии с представлением о волне в терминах разрыва Адамара:
1. Состояние свободных гравитационных волн полностью характеризуется тензором Римана.
2. Фронт гравитационной волны проявляется как разрыв тензора Римана на изотропной трехмерной гиперповерхности.
Первый из этих постулатов означает лишь, что полевой функцией (напряженностью) гравитационного поля в подходе Пирани служит тензор Римана Ra ?Y&, тогда как метрический тензор ga ?, часто ассоциируемый с потенциалом поля тяготения, не играет такого рода первичной роли в анализе волн тяготения. Второй постулат, согласно которому фронт гравитационной волны лежит на характеристической гиперповерхности уравнений Эйнштейна, с физической точки зрения означает, что гравитационные волны в пустом пространстве распространяются с фундаментальной скоростью.
64 Определение Пирани предполагает аналогию между электромагнитными и гравитационными волнами. В качестве третьего (не формулируемого явно) постулата принимается, что волновые поля в гравитации, как и в электродинамике, могут быть только изотропными ПОЛЯМИ. В этой связи Пирани дает обобщение понятия изотропного электромагнитного поля на случай полей тяготения.
Как известно, тензор (2.30) энергии — импульса электромагнитного поля TlXv имеет четыре попарно равных собственных значения: к, к, —к, —к, причем
4?2 = ф2 (4.1)
где
ф = xF = (4.2)
a *Fjjiv — тензор, дуальный тензору Максвелла:
= (4.3)
Электромагнитное поле называется изотропным (null field), если собственные значения тензора Tjxv равны нулю: к = 0, т. е. Ф = W = 0. С физической точки зрения изотропное электромагнитное поле отвечает волновому процессу распространения электромагнитной энергии с фундаментальной скоростью, поскольку в этом случае наблюдатель не может следовать за полем.По определению, наблюдатель следует за электромагнитным полем, если для него поток вектора Пойнтинга
Pa = (8а — VaV$) XfaVa (4.4)
через все возможные двумерные поверхности равен нулю (здесь vG — временноподобный вектор 4-скорости наблюдателя). Но для того чтобы поток Pa всегда равнялся нулю, необходимо, чтобы сам вектор Рл был равен нулю. Согласно (4.4), это означает, что
IaaVa = (XpaVpVa)Va. (4.5)
Из условия (4.5) вытекает, что если наблюдатель следует за полем, то его 4-вектор скорости является собственным вектором матрицы ||TjjlvII. Однако, как известно [62], собственные веКТОрЫ ТеНЗОра Tjxv ИЗОТрОПНОГО ЗЛЄКТрО-магнитного поля могут быть либо изотропными (притом совпадающими), либо пространственноподобными, но не могут быть временноподобными. Следовательно, обратить в нуль Pcl в случае изотропного поля невозможно, и для
3 В. Д. Захаров
65 того чтобы наблюдатель следовал за полем, его 4-вектор скорости должен выродиться в изотропный, т. е. наблюдатель должен двигаться со скоростью света.
Таким образом, можно дать следующее определение изотропного электромагнитного поля: электромагнитное поле называется изотропным, если матрица Цт^!) не имеет временноподобных собственных векторов.
2. Главные векторы Римана. Следование за гравитационным полем
Определение Пирани основано на распространении понятия изотропного поля (в его последней формулировке для электромагнитного поля) на случай гравитационных полей. Однако непосредственным образом осуществить такое обобщение затруднительно, так как в эйнштейновской теории тяготения отсутствует истинный тензор энергии — импульса гравитационного поля. Чтобы преодолеть эту трудность, Пирани определяет понятие следования за гравитационным полем принципиально иным способом, чем в электромагнетизме, вводя так называемые главные векторы Римана.
