Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, в период IO10K < T < IO12K присутствовали в большом количестве фотоны с бозе-распределением
-і
A =
ехр
\квТ)
(2 тгй.)3
электроны и позитроны с ферми-распределением
Г Ea -
fe± ~ (2тгft)3
«Чгігі+1
(3.90)
(3.91) 3.2. Основные этапы эволюции Вселенной
205
нейтрино и антинейтрино с ферми-распределением
v / И. - \ / 1
IutP
(2тгЙ)3
Здесь E1, Ее± , EUtp - энергии фотонов, электронов и позитронов в сопутствующей с веществом системе отсчета. На этой стадии квТ
mec2 , fc?T > TTilxC2 , поэтому эти энергии связаны с импульсом в локально-лоренцевой системе отсчета соотношением E = ср.
Плотность энергии нейтрино вычисляется по формуле (1.95) с учетом (3.92):
?„ = с [ -?Pfrpi)*-* -—Ц-. (3.93)
J у/^р* (2тг/*)3 ехр + J
Проводя вычисления аналогичные тем, что были проделаны при выводе формулы (3.83) для плотности числа фотонов, получим:
€и =
oo
C
f P2 dp _7 **(квТ)* 7 .
2^3 J ехр (^) + 1 - 240(cft)3 - їв" * (3 94)
Аналогично
Ce- = €е+ = 2eu = 1<тТ\ C1 = <тТ\ (3.95)
В результате полная плотность энергии вещества во Вселенной в период, когда IO10K < T < IO12 К , равна
9
f = €„Л + бРе + е„м + с*,, + ее- + бе+ -Ke7 = -<тТ4. (3.96)
В этот период присутствует также небольшая примесь нерелятивистских нуклонов (Upfn1 ~ 1,4 • 10""8?). Вклад их в суммарную плотность энергии пренебрежимо мал.
При температурах T < IO10K нейтрино перестают взаимодействовать с веществом. Функция распределения нейтрино в этом случае получена из решения бесстол к новительного кинетического уравнения в пункте 3.1.2 (см. формулу (3.24)). Применительно к нейтрино получаем при T < IO10K :
fu =
(2тг ft)3
(сЩТрЩ +1
\ квТотр I
-1
(3.97) 206
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Здесь q2 = о,2'уa?pQ, tf—момент "отрыва" нейтрино от вещества, a(t')—масштабный фактор в момент отрыва, Тотр—температура в момент отрыва. Физический импульс (сумма квадратов простран-ственных ортореперных компонент импульсов) Pf = a?PaPf3 связан с q соотношением q = apj . В результате функция распределения для нейтрино при T < Totр ~ IO10K имеет вид
1 г (cJmlc'+a '(OpJMI') \ г1
= —55;-j + 1J ' <3-98'
Для нейтрино с большим запасом выполняется неравенство
квТотр ^ muc2.
В этом случае функцию (3.98) приближенно можно заменить на
^ = (гЫехр (S)+ 1.
где Tv = Тотра(2')/а(2), т. е. вновь имеем ферми-распределение для ультрарелятивистских частиц с температурой, падающей по закону Ту~ а"1.
Заметим, что формула (3.99) для функции распределения нейтрино остается справедливой на всех стадиях расширения Вселенной с температурой T < Тотр. В частности, при нерелятивистских температурах, когда k?Tu < TnlfC2 также справедливо распределение (3.99), а не распределение Максвелла, как это могло показаться на первый взгляд. Действительно, единственным условием того, чтобы точное решение (3.98) кинетического уравнения для функции распределения нейтрино аппроксимировалось формулой (3.99), является условие Ar в Тотр ^ muc2 . Т. е. достаточно только того, что нейтрино являются ультрарелятивистскими частицами в момент отрыва от вещества.
Таким образом, формула (3.94) для плотности энергии нейтрино остается справедливой и при T < IO10 К (вплоть до нерелятивистских (квТ < muc3) температур.
Формула (3.96) для полной плотности энергии остается, следовательно, справедливой до температуры 5 • IO9 К аннигиляции элек-трон-позитронных пар. Плотность энергии бесстолкновительных
(3.99) 3.2. Основные этапы эволюции Вселенной
207
нейтрино составляет от суммарной плотности энергии вещества в период 5 • IO9 К < T < IO10 К величину
+ Cpe + С»» + € Dil
7_ 18*
(3.100)
Для дальнейшего исследования нам понадобится закон сохранения энтропии для системы, находящейся в состоянии локально-термодинамического равновесия. Так как мы положили все химические потенциалы равными нулю, то полная плотность энергии и давление являются функциями только температуры. Согласно второму началу термодинамики энтропия частиц, находящихся в равновесии в объеме V при температуре T есть функция Vn T такая, что
dS(V,T) = ~[d(cV) + PdV .
Отсюда
oS _ е + P dS_ _ dV - T ' дТ~ TdT' так ей P есть функции только от T.
(3.101)
(3.102)
Условие интегрируемости для (3.102) имеет вид
+ р\ _ А
OV
JL {€ + Р\ - А (У-*L\
дТ V T у 8V \TdTJ
или, после простых вычислений,
dp_ dT "
е + Р
(3.103)
Кроме того, должен выполняться закон сохранения TtJ = 0 по отдельности как для бесстолкновительной компоненты (нейтрино), так и для всего остального вещества, находящегося в состоянии локального термодинамического равновесия. Для бесстолкновительного вещества этот закон есть следствие бесстолкновительного кинетического уравнения (см. гл. I); для остального вещества (в нашем случае это система из электрон-позитронных пар и фотонов), закон сохранения следует из того, что он выполняется для суммарного тензора энергии-импульса и для тензора энергии-импульса бесстолкновительного газа отдельно.
