Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
При получении (1.332), (1.333) полагалось, что ж' ^ жа($/я), т. е. не находится на траектории частиц сорта а, проходящей через точку фазового пространства х.
Ввиду малости взаимодействия траекторию частицы сорта Ь под интегралом по s" в (1.333) можно считать геодезической в мире Фридмана. Для геодезической в пространственно-плоской метрике
Фридмана имеем для частицы сорта Ь ( р'2 = JZ Р'а
\ а
pf\s"/x') ^p1i=Z const, p4\S"/X') = ^2W')+P72 =PoW'),
108
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
V
qfb)iv"/X>) = q>°-p>a [iL
J Po
Pb
V1
при условии, если временную компоненту q^ положить равной г)" :
?!!О/'/*') = «Л
Интегрируя в (1.333) по ^",q",//', и подставляя Tji,/ для метрики Фридмана, получим
^ + " W + - Цо'Ч^ШЫ,')*
Vo
V
X T1Л №), VP1PmA^ ехр [ - tk(q - q') - і j(kv'(r))dr].
V'
(1.334)
Здесь v' = (VtvVt2, vf3), v'a = PtaZPt0 .
Решение этого уравнения имеет вид
„<«,«') =/Л/^[|:(Л"А<;»/.(«))]г X
Vo
T
X / ^/bHCW'.pV),k')x
V T
exp[-ik'(q-q')-ik' J v(rjf,)drj,f - ikf J v' (rf')drf']. (1.335)
r n'
Здесь индекс т означает, что после вычисления производной по Pi мы должны аргументы f],q,pQ,po заменить на величины г, q +
f v(r,")dr,"<Pon Po(T) .
T
Решение (1.335) учитывает лишь влияние траектории частицы Ь на частицу а. Обратное влияние учитывает решение уравнения, полученного из (1.333) заменой а 4-ї b и гні'. Это решение получается из (1.335) той же заменой. В правую часть (1.332) нужно подставить сумму этих решений. В результате получаем после интегрирования по q' и к' следующее уравнение на fa (fa = fa{g\Pj)> Гь — 1.4. Уравнение в мире Фридмана
109
= MqitP1j)):
idfa р ..jjj.kdfa _ JL^ J?b P Qqi +Ч.'кр-Р ЙГ1. - Яп: 2^ J' '
dpi dpi
где
V
Jfb = (2ж)3пь J CtiP1J d3k J dV'Sii^(V,V',p'(V'),k)plpmAl<
(1.336)
<0,
Vo
Vo
т V
Х / ^7у^Ь)(^г',р'(г'),-к)ехр[гк J v(W+
Vo т
V'
+гк J vVW] + / ^7)[щ(р''РпК^П)]тМ
V1 Vo
V
X J jLjnrsM(r', т, p(T),k)exp[ik J VtfW+
Vo T
T'
+ ik J vVW']}-
V1
(1.337)
Перейдем к семимерной функции распределения, зависящей от координат и пространственных компонент ра импульса:
Tlafa(X) = FatfiPaWigijPiPj)1'2 ~ ГПас). (1.338)
Уравнение для Fa получается из (1.336) после интегрирования обеих частей по ро. Интегрирование следует провести также по р'0 в (1.337).
Учтем тождество
AiaM^Fa)]т =PV)[^(PVA<^O)]T^. (1.339) 110
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Здесь в левой части при вычислении производной по рк все компоненты pi считаются независимыми и только затем учитывается зависимость ро от pa . В правой же части (1.339) эта зависимость (ро = \/{р2 + m2c2a2)) учитывается до вычисления производных по пространственным компонентам ра импульса.
Используя (1.339) получаем кинетическое уравнение на Fa в метрике Фридмана :
PtW = С-340)
где
V
Jaab = (2*fj d3p'J d3k f dr1'Qjl^(V,r1',P'(r1'),k)P,pmA(j':)x
Vo
Vo
t V
I ^)?!b)(r,r',p'(r'),-k)exp[ikIv(V")dV"+
X Vo
V' Vo P 4
г V
X J J^n:la\t',t,p(r),k)exp[ik j vtfW-
Vo
T
+ ik J v'(i/W]}- (1.341)
V1
Уравнение (1.340) совместно с (1.341) и (1.326) представляет собой кинетическое уравнение для системы релятивистских гравитирующих частиц в мире Фридмана на нерелятивистской стадии расширения Вселенной.
Теперь остается только воспользоваться (1.326) и провести интегрирование по т,т\г)' . В следующем параграфе приводятся соответствующие вычисления для нерелятивистских частиц. 1.4. Уравнение в мире Фридмана
111
1.4.6 Нерелятивистский предел
Для получения кинетического уравнения в нерелятивистском пределе подставим (1.327) в (1.341) и учтем, что в этом случае ро(т) = = mca(r),v(r]) = v0/a(r]), где V0 = const. Вычислим интегралы по
г', Г, И Г]' .
Во первых можно показать справедливость соотношения
V T
JL J dra(r) Jdt'a(t')tiM(t,t',p'(t%-VptpkAMx Vo ' V
ik I v\\(i)")drj" + гк J у;|,(»f)drf'
Vo
X ехр
X{mac)(mbc2) k? f dr' J і
---J wUa{4)
10(2тг)3 к
Vo
/ /X
+ -ra(r )exp
K
+
+ikv\\(r]) ^ - ^pJ ] ехр ^ik j v'Htfwj +
V t'
ik J VIitfW+ ik J v'ntfW
.Tt Г)'
(/5 \ V
I-L-Jexp [гк J V||(rf')dif'+
T- ' T
+ ikjv||tfW]j- (1 342)
В приближении kv\\T] > 1, что соответствует тому, что число столкновений за время эволюции Вселенной много больше единицы, это выражение принимает вид:
Чо Lt' І)'
(1.343) 112
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Далее нетрудно показать, что в этом же приближении интегралами от выражений, содержащих
д дрр
(3??).
можно пренебречь по сравнению со слагаемыми, содержащими производные по импульсам от функции распределения. После этого переходим к интегрированию по Г)' .
V
(2т)3 j dV'^(V, rf, p'(V'), k)plpm^aMvHt/) X
По
TtI г
f dra(r) f dT'a(T')irs[a)(T,T',p'(T'),-k)p'pkA^x
TflaC J J
Vo Vo
x ехр
V T
ik j V||(i/')A/' + ik J V7iiCtf)drf'
xa(i))a(rf) exp
»/о V
ik J VuWW + ik J v'||(ff)drf'
