Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
После интегрирования по к в (1.242) получаем для Ea? следующее выражение:
_ 2nG2L(p°p'°)2 Гі , »2 , v'2 (vv') taP --Mjz?- 1 + — + — - 4--
с2 с2
V2V'2 n(vv')2l2
IH2Sa? - (l - VtlVfi - (l - jj) W? +
+ (1"? M+ <«/»)}, (1244)
H2 = V2 + v'2 - 2(vv') - c~2(v2v'2 - (vv')2).
Величину Ea? можно выразить и через пространственные компоненты Ua 4-скорости:
Ea? = - r3/WWP;) - (*Ьн)(и'Ц)?*
{~9сср[(и%и\)2 - 1] - uaU? - UfotUfp + (U1Ufi)(uQuf? + UfaUp)], (1.245)
где L = J k~ldk—аналог кулоновского логарифма.
Нетрудно получить и ковариантное кинетическое уравнение для функции fa от восьми переменных q% и pj . Оно также отличается от аналогичного уравнения Беляева—Будкера заменой (ее)4(игUfi)2 на (1.243):
р W + r^p flh - ^ ?J 7ГГ) j Wb" Wjfa)'
(1.246) 86
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
где
Eij = ^^[(«Ч)2 - 1]-3/2[2(«ЧНр'РО - (UkPk)(Uyi)^x
{"йЛ(«Ч)2 " Ч " - «Wj + (ики'к)(щи^ + ufo)}, (1.247)
Полученный интеграл столкновений является логарифмически расходящимся. Как и в теории плазмы эту трудность следует обходить введением обрезания в интегральном выражении для L.
Верхний предел Ar00 в f k~ldk положим равным l/rmjn, где rmin —расстояние, на котором кинетическая энергия сталкивающихся частиц сравнивается с из потенциальной энергией. Нижний предел kg полагаем равным 1 /гд, где радиус корреляции для гравитационных взаимодействий (см. 1.2.3). В расширяющейся Вселенной rg ~ (v)t, (V) —средняя тепловая скорость частиц, t —космологическое время, так как учет расширения Вселенной приводит (см. [59, 64, 65], а также предыдущую главу) к устранению расходимости при к 0, причем вклад в интеграл для L от области к < 1 /гд пренебрежимо мал.
Заметим, что как и ожидалось, правая часть полученного кинетического уравнения (1.246) обращается в нуль при подстановке вместо fa релятивистского распределения Максвелла:
/0(9*1 Pj) = Aa ехр (-?^) Wjp.-p.7-)1/2 - mac).
Здесь Aa—нормировочный множитель, кв—постоянная Больцмана, щ—макроскопическая 4-скорость среды в равновесном состоянии, T—температура.
1.3.5 Изотропизация мелкомасштабных
флуктуаций реликтового излучения
Применим уравнение (1.241) с ядром (1.244) для исследования взаимодействия реликтового излучения с крупномасштабными скоплениями вещества [62]. В этом случае Fa—функция распределения для фотонов F1, Fb—функция распределения крупномасштабных скоплений вещества. Очевидно, что v ~ с,Vt с. Поэтому (1.244) принимает вид:
Ea? = 8тгG2Lml(p2Sa? -pQp?)/c3.
(1.248) 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
87
Подставляя (1.248) в (1.241), пренебрегая зависимостью F1 от пространственных координат и переходя к сферическим координатам в импульсном трехмерном пространстве, приходим к уравнению
OF1 _ 8тгG2TUbPbL , , -Qf --^-^F1. (1.249)
Здесь Aeif —угловая часть оператора Лапласа в пространстве импульсов:
1 д / . д \ Id2
Ae* = ^Teae +
pb = ть J dPP1F1b—массовая плотность вещества.
Решение уравнения (1.249) можно искать в виде разложения по сферическим гармоникам
Яг = ?ДтУ|.т(0,р). (1-250)
Подставляя (1.250) в (1.249), нетрудно получить, что все гармоники с I ф 0 затухают со временем, т.е. однородное анизотропное распределение реликтовых фотонов становится изотропным вследствие взаимодействия с крупномасштабными скоплениями вещества:
Дт(<,р) = /,°т (P) ехр (-J* . (1.251)
Здесь
г(0 =
C3
%nG2rribpbl(l + 1)
Наиболее существенно этот эффект влияет на мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения. В [62], где впервые рассмотрено взаимодействие ультрарелятивистских частиц с нерелятивистскими массивными частицами и получено уравнение (1.249), приведены оценки для гпь ~ IO16Mq, рь ~ Ю"30г/см3,/ ~ 2 х 101Олет. Там же показано, что реликтовое излучение должно быть в высокой степени однородно в масштабах АО < 10 угловых минут. 88
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
1.4 Релятивистское кинетическое уравнение для гравитирующих частиц в мире Фридмана
1.4.1 Введение
Здесь мы решили повторить вывод релятивистского кинетического уравнения при более жестких условиях. А именно, мы отказываемся от приближения, использованного в предыдущем параграфе, при котором считалось, что внутри области корреляции усредненное гравитационное поле среды можно считать постоянным. Отказ от этого приближения означает, что мы учитываем влияние усредненного гравитационного поля среды на акт столкновения отдельных частиц. Очевидно, что такой учет в случае произвольной метрики усредненного гравитационного поля является весьма трудной задачей и мы ограничиваемся только случаем, когда усредненная метрика, создаваемая средой, является метрикой пространственно-плоского мира Фридмана.
Построена цепочка зацепляющихся кинетических уравнений для одночастичной, двухчастичной и т. д. функций распределения релятивистских гравитационно-взаимодействующих частиц. Гравитационное взаимодействие описывается в рамках общей теории относительности. Показано, что для получения кинетического уравнения для одночастичной функции распределения в мире Фридмана с точностью до членов второго порядка малости по константе взаимодействия достаточно воспользоваться линеаризированными уравнениями Эйнштейна и пренебречь трехчастичными корреляциями. Полученное кинетическое уравнение в нерелятивистском пределе переходит в уравнение, полученное Бисноватым-Коганом и Шухманом для расширяющейся Вселенной в рамках ньютоновской теории гравитации.
