Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ ^ [IГ j "р (~ Й)2"(' - -
-2с(1-с) ]/¦!). (6.60)
в) Полностью неупорядоченный сплав:
V",,
- &)|*<~>|- - а-2 УЦ+
(л 2 ? "Р (- -1VI}- <6-м>
В [26] показано, что для неупорядоченного сплава выражение во второй
фигурной скобке обращается в нуль.
§ 20. Полная внутренняя энергия сплава во втором порядке теории
возмущений и в локальном приближении
Конфигурационная часть полной внутренней энергии сплава, состоящая из
зонной и электростатической энергии, определяет стабильность
кристаллических структур при низких температурах (в принципе это
относится к 0 К, если пренебречь вкладом нулевых колебаний). Здесь мы
также не сочли возможным обсуждать проблемы, связанные с потерей
механической устойчивости
16 л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон
242
ГЛ. 6 РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
решетки за счет эффектов сдвига, с которыми можно познакомиться,
например, в [27-28].
Выпишем выражения для конфигурационной части внутренней полной энергии
соответственно для кристаллов с дальним порядком, без дальнего, но с
ближним, и для полностью неупорядоченного сплава.
1. Сплав с совершенным дальним порядком. Из (6.26), (6.49), (6.59)
следует, что для упорядоченного сплава конфигурационная часть полной
энергии может быть записана следующим образом:
(7,
конф :
41 z**
¦ 2 ]/"-" п
4я
Q
Tlyf &n,J
slf)
4д
I S (gn,/)
я
r|Q
Й V' rt2 e (Snj) | &n'f
П,/
(Snj)
-2t(l - c) ¦"/ Л
4я
a 2 ф- "P
n,SS "n,ss
Q V* 2 5
+ 4Л Zd §n>ss '
o"
О n,SS
4r\
s (?n,ss)
C(g".ss)P-
|C(g",S5)|3X
X | ЛИ'5 (gn,ss) |2|- (6.62)
Выражение в первой фигурной скобке (6.62) отвечает вкладу среднего
кристалла, а во второй - флуктуационной части. Существенно, что в отличие
от одпокомпонентного кристалла при суммировании в (6.62) определенный
вклад в энергию дают члены с относительно малыми волновыми векторами.
Поэтому флукту-ационный член может быть отнюдь не малым. Вследствие этого
уже в самых первых работах по электронной теории металлических сплавов
достаточно внимательным образом рассматривались и проблемы упорядоченных
сплавов.
Полученные выражения могут быть использованы для анализа устойчивости
кристаллических структур тех или иных упорядоченных сплавов. Для этого их
следует подставлять в соответствующие выражения для термодинамического
потенциала, находить точки равенства этих потенциалов у соседствующих,
например, фаз, или вычислять конфигурационные энергии разных фаз и т. д.
В этой связи представляет интерес другой (конечно, это другой с
математической точки зрения, но не более) путь, являющийся сочетанием
псевдопотенциальной теории сплава и статп-стическо-термодинамической
теории, использующей метод статических концентрационных волн.
Согласно [6] тип упорядочения, возникающего ниже определенной температуры
Те (температуры упорядочения), определи-
§ 20. ПОЛНАЯ ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ СПЛАВА
243
ется симметрией фурье-образа потенциала упорядочения, причем температура
упорядочения и глубина минимума фурье-образа связаны соотношением
rc = -(l-c)cTT(g",fS). (6.63)
Поэтому для определения типа и температуры упорядочения, выявления
области существования упорядоченной фазы достаточно рассчитывать не
полную энергию сплава, а лишь фурье-компо-ненту энергии упорядочения в
окрестности ее минимума. Разумеется, само положение минимума также должно
быть найдено с помощью расчета. Иными словами, необходимо найти
распределение фурье-образа потенциала упорядочения в обратном
пространстве, отыскать минимумы, найти их симметрию н глубину, и этих
данных может быть достаточно для нахождения стабильных упорядоченных фаз,
их типа, области существования, температур переходов и т. д.
Рассмотрим предложенный в [6] путь нахождения фурье-образа потенциала
упорядочения. Начнем с анализа зонной энергии, причем исходным будет
соотношение (6.26):
1-7(2) _ й V "2 1 - 6 (Ч)
иь* - Ж Z Ч-------------------------------
8я 1 е* (q) q
Шь (q)
С( q)
(6.64)
Известно, что произвольны!! волновой вектор q можно представить как сумму
ближайшего к нему вектора обратной решетки gn и разности рассматриваемого
вектора q и g":
q = gn + Aq. (6.65)
Тогда суммирование по q в (6.26) можно разбить на суммирование по в
первой зоне Бриллюэна и по векторам обратной решетки g":
^ = -Jr 2' 2' ig" + дч i21шь + дч) i2 x
X^fwlc(gn + Aq)l2' (6,66)
Функция |C(q)|2 обладает трансляционной симметрией, и поэтому
|C(q)l2 = |C(Aq)I2. (6.67)
Обозначим теперь сумму по векторам обратной решетки в (6.66) через
п. (Дч) = ё- [21g" + 4" I11 ¦^ <S" + дч) 1! '-ё-^тау -
(6-68>
244 ГЛ. 6. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР
(Последняя сумма в (6.68) появляется, поскольку мы опустили штрихи в
первой сумме). Тогда флуктуационная часть полной зонной энергии будет
записана следующим образом:
с4в> = |27ьв(Дч)|С(Дч)12, (6,69)
Aq
Ясно-, что Fbs(Aq) будет давать фурье-компоненту зонной части потенциала
упорядочения в первой зоне Бриллюэна.
Аналогичное рассмотрение следует провести и для электростатической части
