Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
где мы пренебрегли числом, пропорциональным X4. Из уравнения (6.1.29) можно найти волновое число К в центре запрещенной зоны:
Поскольку это волновое число является комплексным, оно отвечает экспоненциально затухающей амплитуде. Следует отметить, что это пространственное затухание существенно зависит от коэффициента є і в фурье-разложении. Ширина запрещенной зоны определяется величиной Acogap = 1со+ — со_ I и в соответствии с (6.1.28) дается выражением
(6.1.29)
(6.1.30)
(6.1.19) а
U
РИС. 6.2. а — дисперсионная кривая в области запрещенной зоны для периодической структуры, изображенной на рис. 6.3 при O1 = 3,2, п2 = 3,4, a = b = 0,5Л; заметим, что К становится комплексным, когда Re(ArA) = 7г; б ¦— общий вид дисперсионных кривых ш(АТ) для основной запрещенной зоны (/ = 1) и запрещенных зон высшего порядка (/ = 2, 3).
12-631 178
Глава 6
Таким образом, ширина запрещенной зоны Awgap пропорциональна коэффициенту Фурье для диэлектрической Проницаемости. Из выражений (6.1.30) и (6.1.31) можно заметить, что мнимая часть волнового числа в центре запрещенной зоны пропорциональна относительной ширине этой зоны (Awgap/w) и дается выражением
Ki=U--^, (6.1.32)
u
где, как мы помним, g = 2тг/Л.
Выше при получении формул мы предполагали, что распространение волн происходит в направлении периодического изменения диэлектрической проницаемости", т. е. вдоль оси г. Для произвольного направления распространения (т. е. когда Kx или Kv ^ 0) дисперсионное уравнение оказывается более сложным и зависит от состояния поляризации. Это будет показано в следующем разделе при исследовании распространения волн в периодических слоистых средах.
При выводе дисперсионного уравнения (6.1.27) мы предполагали IК — g I = К [соотношение (6.1.22)] и K2 ~ а>2це0 [соотношение (6.1.23)], что следует из условия резонансной связи между коэффициентами А (К) и А (К - g). Запрещенная зона, связанная с брэггов-ским условием (6.1.22), определяется коэффициентом фурье-разло-жения ?; диэлектрической функции є (г). В общем случае существует запрещенная зона, связанная с каждым коэффициентом Фурье E1 диэлектрической функции є (г). Для иллюстрации этого рассмотрим случай, когда
I K-lg\~K, /=± 1,+2,..., (6.1.33)
K2 = и2це0. (6.1.34)
Аналогично тому как были выведены уравнения (6.1.24) и (6.1.25), можно получить
(к2 - u2iie0) A(K) - u2tielAiK - lg) = 0, (6.1.35)
-u2tie^A(K)+ [(К - Igf - u2^0]a(K - lg) = 0. (6.1.36)
Это приводит к запрещенной зоне при
Iiis.
(6.1.19) Распространение электромагнит ны.х волн в периодических срелах
179
Поскольку здесь предполагается, что = с* ширина зоны дается выражением
(6.1.38)
Если / 1, то эти зоны называются запрещенными зонами высшего порядка, поскольку в соответствии с (6.1.37) и (6.1.34) они имеют место при более высоких частотах. Во многих случаях коэффициент фурье-разложения e1 с ростом I уменьшается (т. е. e1"—¦ 0 при / — °о). Как видно из (6.1.38), соответствующие запрещенные зоны имеют небольшую ширину. На рис. 6.2, б представлены дисперсионные кривые оз(К) для общего случая.
6.2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СЛОИСТЫЕ СРЕДЫ
Простейшая периодическая среда состоит из чередующихся слоев прозрачных материалов с различными показателями преломления. Современные достижения в технологии выращивания кристаллов, особенно методом эпитаксии из молекулярных пучков, позволяют выращивать периодические слоистые среды с хорошо контролируемыми периодичностью и толщинами слоев, соответствующими нескольким атомным слоям. Распространение волн в периодических слоистых средах изучали многие авторы [1, 2]. В этом случае можно получить точное решение волнового уравнения. Мы будем предполагать, что материалы являются немагнитными. Рассмотрим простейшую периодическую слоистую среду, состоящую из двух различных веществ со следующим профилем показателя преломления:
"(*>-!„;; ь<,<А, (б-2л)
причем
n(z) = n(z + А) . (6.2.2)
О < Z < Ь,
Здесь ось г перпендикулярна границам раздела слоев, а Л — период. Геометрия этой структуры изображена на рис. 6.3. Для нахождения блоховской волны, отвечающей векторам электрического поля, будем использовать процедуру, описанную в [2]. Общее решение волнового уравнения для вектора электрического поля можно і 180
Глава 5
KU
*J?7
z= (ti - 2) л \_
(n-ІІЛ
-Л_
г = пЛ
(/г-1)-я элемент. элемент, ячейка ячейка
РИС. 6.3. Схематическое представление периодической слоистой среды и амплитуд плоской волны, отвечающих /7-й элементарной ячейке и соседним с ней слоям.
записать в виде
(6.2.3)
где предполагается, что волна распространяется в плоскости yz, а к — составляющая волнового вектора, которая остается постоянной при распространении через среду. Электрическое поле внутри каждого однородного слоя можно представить в виде суммы падающей и отраженной плоских волн. Комплексные амплитуды этих двух волн составляют компоненты вектора-столбца. Таким образом, электрическое поле в слое а (а = 1, 2) п-й элементарной ячейки можно записать в виде вектор-столбца
