Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
с iG
2п? п2
Согласно определению, распространяющаяся нормальная мода имеет единственную постоянную распространения и единственное состояние поляризации. Иными словами, нормальную моду можно записать следующим образом:
E = ее
-iki
(4.11.18)
Подставляя выражение (4.11.18) для E в уравнение (4.11.15), это дифференциальное уравнение можно свести к следующему компактному алгебраическому уравнению:
Ke = /се.
(4.11.19)
Уравнение (4.11.19) представляет собой характеристическое уравнение. Отсюда следует, что поляризационные векторы нормальных мод являются собственными векторами волновой матрицы Ke с собственными значениями, отвечающими волновым числам распространяющихся мод. Пусть к = (ш/с)п, где п требуется определить. Тогда из (4.11.17) и (4.11.19) получаем характеристическое уравнение
iG_ Ini
0, (4.11.20)
п, - п -
iG 2/1,
я, - п
или
("і - я)(и2 - и)
4п]п2 '
(4.11.21)120
Глава 4
Корнями уравнения (4.11.21) являются показатели преломления для нормальных мод:
я, + h1 il ti1 - til \2 G2
»- -lT1 ± V ("Vі)(4ЛЬ22)
Таким образом, волновые числа нормальных мод можно записать в виде
где Ak определяется выражением (4.11.11).
Соответствующие независимые векторы поляризации нормальных мод можно получить, если подставить (4.11.23) в уравнение (4.11.19):
е =
I1- Tl \
iG 2 п0
(4.11.24)
Здесь п дается выражением (4.11.22). При Ti2^nl выражение (4.11.24) согласуется с (4.9.25). Важно иметь в виду, что в анизотропной среде состояния поляризации для вектора электрического поля E и вектора электрического смещения D, вообще говоря, различны. Выражения (4.11.23) и (4.11.24) для вектора электрического поля получены в предположении, что продольная составляющая у него отсутствует, а выражения (4.9.24) и (4.9.25) получены для вектора смещения D. В следующем разделе мы выведем уравнение движения, описывающее эволюцию вектора D.
4.12. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В предыдущем разделе мы получили матричное уравнение (4.11.15), описывающее эволюцию вектора электрического поля E при условии, что его продольная составляющая пренебрежимо мала. Теперь мы выведем уравнение движения для вектора электрического смещения D, который всегда перпендикулярен направлению распространения. Будем исходить из волнового уравнения (1.4.2) и воспользуемся соотношением (4.3.3), чтобы выразить E через D. Тогда можно записать следующее волновое уравнение:
VX(VX4D)-(I)2D = O. (4.12.1)Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
121
Поскольку нас интересует состояние поляризации волны, распространяющейся вдоль направления s, дифференциальный оператор V можно заменить на sd/df. При этом волновое уравнение (4.12.1) принимает вид
SX Js X -^dJ - (f)2D = 0. (4.12.2)
Мы будем использовать здесь систему координат, введенную в разд. 4.3, в которой вектор s определяет направление третьей оси. В этой системе координат волновое уравнение записывается следующим образом:
д2 /ы\2
^d=-It)0' (4л2-3)
где у), — поперечный тензор непроницаемости 2x2, определяемый выражением (4.3.7). Введем 2х 2-матрицу N следующим образом:
N2Tjl = 1. (4.12.4)
Умножая (4.12.3) слева HaN2 и используя (4.12.4), получаем
4D--(-)VD. (4.12.5)
ді2 Ус)
Это дифференциальное уравнение эквивалентно следующей системе двух линейных дифференциальных уравнений:
(4.12.6)
-D = і—NT). (4.12.7)
CfS с
Матрица N называется матрицей показателей преломления и в случае изотропной среды сводится к показателю преломления п. Поскольку мы используем зависимость от времени вида е'ш, уравнение (4.12.6) соответствует волне, распространяющейся в направлении + Г» а уравнение (4.12.7) отвечает распространению волны в направлении — f. Используем теперь уравнение (4.12.6) для описания эволюции состояния поляризации в среде, характеризуемой матрицей показателей преломления N.
Рассмотрим случай, когда существует внешнее (или внутреннее) возмущение, такое, как механическое напряжение, магнитное поле,122
Глава 4
электрическое поле или оптическая активность. Пусть индексы 1 и 2 отвечают нормальным модам, распространяющимся в отсутствие этих возмущений. Тогда тензор диэлектрической непроницаемости i)t можно записать в виде
V1 =
О
\
+ Дт),
(4.12.8)
где Ar/ представляет собой возмущение. Если величина Arj мала, то для N можно получить явное выражение непосредственно из определения этой матрицы и выражения (4.12.8):
і і \
N
2„2
лгл
1"2
Л, + Л;
2„2
ЛГИ
1 2
Л, + Л2
л2 - їл32Дт)22
(4.12.9)
Поскольку i)t — эрмитов тензор, эрмитовой является и матрица показателей преломления N. Если матрица N известна, то уравнение (4.12.6), если заданы начальные условия для состояния поляризации, имеет однозначное решение. Распространяющиеся нормальные моды можно найти путем диагонализации матрицы показателей преломления при наличии возмущения.
Определим распространяющиеся нормальные моды в оптически активной среде. Пусть величина A-q описывает влияние оптической активности. В соответствии с (4.9.20) эту величину можно записать в виде