Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
V X (V X Е) - и2ц(е + Дв)Е = 0.
(4.11.4)
Поскольку волна распространяется вдоль направления s, дифференциальный оператор V можно заменить на sd/dj". При этом волновое уравнение (4.11.4) принимает вид
— [Е - s(s • E)] + ы2ц(є + Дв)Е = 0, dl2
(4.11.5)
где предполагается, что среда является однородной, а векторы поля отвечают плоским волнам. В выражении (4.11.5) величина в квадратных скобках представляет собой поперечную составляющую вектора электрического поля. Пренебрежем теперь продольной составляющей электрического поля и предположим, что S-E= 0 (т. е. s-e, = S e2 = 0) и е,-е2 = 0.
Подставляя выражение (4.11.3) в уравнение (4.11.5) и предпола-
гая, что е,е
Jiial-к 2І)
являются независимыми модами не-
возмущеннои среды, получаем
Ci2Al „ , <М, 2 . . —t ~2lkift + U2IXAEA1
е,е
i(ut-k^)
+
(4.11.6)
+
Ci2A1 „ , dA2 2 * .
--2- - Uk1-TTT + U2IIAEA2
dl2 2 dl
,(0,,-^п = O5
где было использовано условие к2са — ш2цееи = 0, а = 1,2. Предположим теперь, что амплитуды А , 2 являются медленноменяющи-мися функциями величины т. е. что (d2Aa/d?2) « kadAa/d$ (а = = 1, 2), и умножим скалярно уравнение (4.11.6) на каждый из векторов е, и е,. В результате получаем следующие уравнения:
dAx dl dA2 dl
Ш (X
2 к
[ДвиЛ, + Д Е12А2Є~
/(a2-a1)Jr
|1Л1 "12 2і 2к [Д Е2хАхе^к^ + Де22
ш ц
<2
(4.11.7)
'' «Медленное» означает, что относительное изменение величины А в масштабе длины волны излучения много меньше единицы. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
117
где мы использовали условие ортонормированности векторов е, и е2. Величины Aeulj в (4.11.7) являются матричными элементами тензора возмущения Ae в системе координат, образованной векторами е,, е2 и s. Уравнения связанных мод (4.11.7) при заданных начальных условиях имеют единственное решение для состояния поляризации волны.
В качестве примера, иллюстрирующего использование уравнений (4.11.7), рассмотрим распространение электромагнитного излучения в оптически активной среде с двулучепреломлением. Пусть влияние оптической активности является малым возмущением Ae, определяемым в соответствии с (4.9.9) выражением
Ae-ie0[G].- (4.11.8)
Матричные элементы этого возмущения запишутся в виде
Де,, = Ae22 = О,
Ae12=-Ze0G, (4.11.9)
Ae21 = і E0G.
Пусть А ДО) и А 2(0) амплитуды мод при f = 0. Выражения для амплитуд мод A ,(f) и A2^) в произвольной точке 'С получаются путем решения уравнений (4.11.7), в которых Acag даются выражениями (4.11.9). В результате получаем
A1U) = е~
^,(0)(coss? + i^jsmsf) - ^ J^2(0)sin j? ,
МП = e
= А'д«
,42(0)(cosj? - + ^ j^1(o)smjf
(4.11.10)
где я,, «2 — показатели преломления для мод (т. е. кх 2 = п{ 2и/с),
А/с = Zc2 - Zc1 = — (и2 - и,),
(-Г—
Vc/ 4/J1W2
(4.11.11)
(4.11.12)
Выражения (4.11.10) показывают, как возмущение Ae12 приводит к обмену энергией между модами 1 и 2. Следует заметить, что в слу- 118
Глава 4
чае, когда оптическая активность исчезает (G = 0), величина Ae12 в соответствии с (4.11.9) обращается в нуль и мы имеем А Д^) = = /1,(0) и A2(s) - A2(O). Следовательно, состояние поляризации волны зависит от координаты. Пусть х (0) — комплексный параметр, отвечающий начальной поляризации, a x(D — состояние поляризации в точке f. Тогда из выражений (4.11.10) получаем
х(0 =
А2е~^ x(0)(cos^-4^) + f ^sin ^
А,е~'к,f о , .Ak . , , u G '
Iе cos.tf + і—sinj? - X(O)-
(4.11.13)
Из этого выражения видно, что состояние поляризации является периодической функцией координаты f с периодом 7гЛ. В частном случае, когда п2 = пх (т. е. Ak = 0), выражение (4.11.13) для состояния поляризации принимает вид
ш= X(O)Cosp^sinpi cos pf - x(0)sm pf
где р = (oi/c)G/7л — вращательная способность, определяемая выражением (4.9.14). Если начальное состояние поляризации отвечает линейно поляризованной волне с азимутальным углом ф0 [т. е. X(O) = Igi^0], то в соответствии с (4.11.14) состояние поляризации в точке f равно X (Г) = tg (ф0 + pf) и отвечает линейно поляризованному свету с азимутальным углом ^0 + Ps- Иными словами, плоскость поляризации поворачивается на угол pf, что согласуется с результатами, полученными в разд. 4.9.
Используя формализм связанных мод, можно также получить распространяющиеся нормальные моды при наличии возмущения. Для этого нам понадобится определить вектор Джонса для электрического поля, чтобы записать состояние поляризации волны следующим образом:
Е= /?і(П)_ ІМПе-'^'
ад)/ \л2а)<г'*г*.
Из (4.11.7) нетрудно видеть, что E удовлетворяет уравнению ~E=~iKeE. (4.11.15) Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
119
Матрица Ke называется волновой матрицей и записывается в виде
1
+ тТГГ
2 ti1e0
Де,
2ЩЕ0 12
л-Ле21
In2E0
п2 + -X-
2 и, є.
Де
2 cO
22
(4.11.16)
Для среды с оптической активностью Aea? дается выражением (4.11.9) и волновая матрица принимает вид
(4.11.17)
и «1 Inx
