Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Эти направления называются главными диэлектрическими осями кристалла.
Вместо (4.1.1) диэлектрические свойства кристалла можно описать посредством тензора диэлектрической проницаемости Ejj, который определяется следующим образом:
— ?о Х\\Е.
Py — eOX22Ey, ~ еоХззE2-
(4.1.2)
Ac = 6U Ex + Sl2Ey + Ei3E2, Dy = e2i Ex + S22Ey + S23E2,
"г>
(4.1.3)
Из (4.1.1) и соотношения D = 6ПЕ + P
(4.1.4)
получаем
«оО + Х/у)-
(4.1.5) 80
Глава 4
Эти девять величин ?,,, E12, ... являются постоянными среды и составляют диэлектрический тензор. Выражения (4.1.3) часто записывают в виде тензора
Di = BijEj, (4.1.6)
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
В большей части этой главы мы будем считать, что среда является однородной, непоглощающей и магнитно-изотропной. Плотность энергии электрического поля, запасенной в анизотропной среде, равна
Ut = iE • D = \EnjEj. (4.1.7)
Дифференцируя (4.1.7) по времени, получаем
Ue = ^[EiEj+ EiEj). (4.1.8)
При выводе теоремы Пойнтинга в разд. 1.2 мы видели, что поток энергии в единичном объеме среды без поглощения дается выражением
- V • (Е X Н) = E • D + H • В, (4.1.9)
которое с помощью формулы (4.1.6) для D можно записать в виде
- V • (Е X Н) = EiZijEj +H-B. (4.1.10)
Поскольку вектор Пойнтинга равен потоку энергии в среду, первое слагаемое в правой части выражения (4.1.10) должно быть равно Ue. Таким образом, мы имеем следующее уравнение:
Ьи(Е,Щ+ElEj) = BljElEj. (4.1.11)
Отсюда сразу следует, что
tU = eP-
(4.1.12)
Это означает, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен и имеет, вообще говоря, лишь шесть независимых элементов. Эта симметрия является прямым следствием определения (4.1.6) и предположения о том, что E представляет собой вещественный тензор диэлектрической проницаемости. В случае когда среда без поглощения описывается комплексным тензором диэлектрической проницаемости (например, оптически активная среда, см. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
81
разд. 4.9), аналогичный вывод приводит к условию
(4.1.13)
Иными словами, для сохранения энергии электромагнитного поля требуется, чтобы тензор диэлектрической проницаемости был эрмитов. В частном случае, когда диэлектрический тензор является вещественным, свойство эрмитовости (4.1.13) сводится к свойству симметрии (4.1.12).
4.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
В анизотропной среде, такой, как кристалл, фазовая скорость световой волны зависит как от состояния ее поляризации, так и от направления ее распространения. Вследствие анизотропии состояние поляризации плоской волны может изменяться в процессе ее распространения через кристалл. Однако в общем случае для данного направления распространения в среде существуют две независимые волны (моды) с хорошо определенными фазовыми скоростями и направлениями поляризации. При распространении через анизотропную среду состояние поляризации световой волны, поляризованной параллельно одному из этих направлений, будет сохраняться. Эти независимые поляризации, а также отвечающие им фазовые скорости (или, что эквивалентно, показатели преломления) можно определить из уравнений (1.1.1) и (1.1.2) с использованием диэлектрического тензора.
С целью получения соответствующих выражений предположим, что через анизотропную среду распространяется монохроматическая плоская волна с угловой частотой и, электрическое поле которой имеет вид
где k[=(w/c)«s] — волновой вектор (здесь S — единичный вектор вдоль направления распространения) и п — показатель преломления, который нужно определить. Подстановка выражений (4.2.1) и (4.2.2) для E и H в уравнения Максвелла соответственно (1.1.1) и
Eexp[j(wf - к • г)],
(4.2.1)
а магнитное поле записывается в виде
Hexp[i(at - к - г)],
(4.2.2)
6-631 82
Глава 4
(1.1.2) дает к X E = wjuH, к X H = -weE.
(4.2.3)
(4.2.4)
Исключая H из уравнений (4.2.3) и (4.2.4), получаем
k X (к X Е) + W2JueE = 0. (4.2.5)
В системе координат, которые совпадают с главными диэлектриче-
скими осями, диэлектрическии тензор имеет вид
I'' 0 0 '
? = 0 0
0 0 eJ
(4.2.6)
При этом уравнение (4.2.5) можно записать следующим образом:
U2lItx - к2- к
2
у
кукх kzkx
к „к
ы2цеу -kl- kl
х- у
^ey - '-2
*А
kxkz E cjX
KK Ev
у z у
и2цєг - к2х- к2 К
= 0. ' (4.2.7)
Для того чтобы система уравнений имела нетривиальные решения, детерминант матрицы в (4.2.7) должен быть равным нулю. Это условие позволяет найти соотношение между wnk:
det
- к) - к] кукх KK
кхку
wVv
KK kykz
Kky
и2цег - к2х - к\
= 0. (4.2.8)
Данное уравнение можно рассматривать как уравнение трехмерной поверхности в к-пространстве (пространстве импульсов). Эта поверхность называется нормальной поверхностью (поверхностью волновых нормалей) и состоит из двух оболочек, которые в общем' случае имеют четыре общие точки (рис. 4.1). Две линии, проходящие через начало координат и эти точки, называются оптическими осями. На рис. 4.1 изображена одна из оптических осей. Для данного направления распространения существуют, вообще говоря, два значения к, при которых направление распространения пересекается с нормальной поверхностью. Эти два значения к соответствуют Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
