Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
нуля, имеющим непрерывные первые производные; кроме того г зависит только
от Л в начальный момент я, следовательно, все время.
Чтобы найти уравнения движения, мы применим формулы (11) к полным
уравнениям движения жидкости, а не к уравнениям ме-
дленного движения. Полные уравнения, при отсутствии внешних сил будут
следующие:
и. Дм •
др ди дх 'J dt
. др dv
рДе - -f-----------------р -
ду Ot
( ди . да \
I 00 I dv \
'?(*-a7 + vW) •
(14)
так что это будут сами уравнения (]% при условии замены в них X и У через
/ ди . ди \ I dv . dv \
л=-(*&+'%)' '"-(•ь+'ад)'
Но (14) можно также написать в виде:
рЛ" • иД?'-
а
д
Щ/
Р+-п-("2 + г'3)
- р-^ + 2р;гв"о,
dv . ,
- р -гг 2р," = О.
' dt
(16)
Это будут те же уравнения (1), при условии замены в них р через q=zp-\--
t- (и2 -j- г2) и если положить
Л' = 2 Cr, |
х = -2:". j
О в)
Можно, следовательно, получить, m u t a t i s m и t а н d i s, формулы
(11), и мы найдем:
to
2кр" (г0, у0, O-pJ'J' В, )0<fo-bp J dt j J 2 (Up - r,")-<ie-
B(o)
B(t)
О K(t)
du
")-F, (...)} i
¦"f7' v IT~f/eos H'r + ?/") - v> (¦¦¦)(,ls + "h p I (w cos nx ~b vcos
n;/)rfs.
07)
где иу и Vi образованы с помощью функции Фг Предположим, как зто будет
проверено в дальнейшем, что при О / <; tg, имеем неравенства:
м_____
I и, V I <
1М1<
А ди dv
(i+рдг' дх " • • • > ду
<
(1 + р В)
,1-И"
В
<!+№'
(" > О),
(18)
т. е., что движение остается регулярным в смысле Oseen'a. Применим
формулу (17) к кругу, радиус которого мы заставим расти неограниченно.
Предположения (18) заставят исчезнуть в (17) интегралы по линиям, и мы
получим, таким образом:
О0, У0> 'о) f j =(uUi+vVi)t = <>lb +
(по всей плоскости)
to
+ 2 fat J J (UiV-Fi^Zda.
(19)
О (по вихр.'области)
Это выражение может быть упрощено; мы имеем, отбросив индекс при функции
<f1 или 'I'j
(Р'я 1Г д3<?
Ui ~ ду* ' Vl:
дх ду
Следовательно, можно написать:
//<*?г-+'г-)-*=//(*$-" А)*1
a(*f) d('w)
ду
дх
dz =
9<р д$
~L- cos пу - V ~ cos пх \ ду ду
(контур)'
Но интеграл по контуру (бесконечности) обращается в нуль, а интеграл но
поверхности относится только к вихревой части, т. е. к кругу И^а в момент
< = 0. Следовательно,
II ("и'+''гл^°=+211Ш,,/°- <20)
(по всей плоскости) 20
Естественно, находим также:
(по всей плоскости)
Со
Будем теперь рассматривать выражение j' J' (pU1 - uVl)~da; мы имеем:
f J ^ ^ -
f Г ( 8 (' rlrf \ I 8 (r 8<f\ д<р X dtp (X
¦JJ 'r~*-
8u} % 8n 8u 8x
dn. (21)
Заметим теперь, что очевидная симметрия вокруг точки О позволяет
утверждать, что скорость во всякой точке перпендикулярна радиусу-вектору
(их 4- г у = 0): кроме того, имеем:
9С 9ц х
Ж = 1в 1Г'
следовательно,
X , Ы. 19^, . _
w ~л Г (r) ~ ИТ ~7П7 (т; Г ) = °-
дх 1 ду И д It 1 J
Уравнение (21) дает нам:
J J (i'Uj - v Ft) С dn - J ' ~ (" cos nr -)- r cos ny) ds,
2 (контур)
что" очевидно, равно нулю, так как на контуре (все время круговом, на
конечном расстоянии) мы имеем и cos nr -j- v cos ny = 0, а если контур на
бесконечности, то интеграл обращается там в нуль. Следовательно, формула
(19) в силу (20) приводится, наконец, к виду:
(.г.
"о
и также находим:
2(tm) (х0, г/оЛ) = -2 / / (С ||)
-in
Заменим теперь с? его значением (8)
О а2
I
da
е <*"_ О [_ г
а
или его значением (6).
Мм получим непосредственно:
(•"•о. Ут fo) = - J f Z У, 0) (l - с~ *&) 1^г d<3>
/г /" , _ _ptf\ ,, _ , (^"0
- J J C(*, l/,0)(l -e <**•) i2--± da.
Qn
Для функции q находим:
щ (xo> у0> V)=p j J c(vir~u-^ ) ^TdG-
Легко проверить, что м, v и q удовлетворяют неравенствам вида (18),
допущенным в начале рассуждения.
Если р. стремится к нулю, то мы получим снова классические уравнения
Гельмгольца. Теория Гельмгольца, следовательно, является предельным
случаем, к которому мы
приближаемся, когда и. стремится к нулю.
Пусть Д/0 точка на большом расстоянии от точки О; тогда будем иметь
приближенно г = I! - j/ ';o2 Упг> и положив
*о = // 2С (л, у, 0) di, мы сможем написать:
2ш (г0, г/о, g = -^(l - Г fe),
Гг/ р(r)5!
2то (¦% ?/0,
где 10 интенсивность вихря в начальный момент.
Мы видим, что эти формулы очень близки к тем, которые уже нам известны
для вихря, сводящегося к бесконечно тонкой трубке. Величина скорости во
всякой точке будет равна:
I { _i?\
при II заданном, она убывает, когда / растет. В момент t скорость
достигает максимума для В, определенного из соотношения:
, ,
Ряс. 62.
Расстояние В, соответствующее этому максимуму, следовательно,
пропорционально Вихрь 2С = -^-- для /' достаточно боль-
шого имеет значение
|2С| = ?Н4 Г&-,
' 1 47C[if
он везде равен нулю, когда t бесконечно. Его наибольшие значения
соответствуют начальному моменту или, по крайней мере, моменту, близкому
к начальному.
Применяя тот же метод, можно также обобщить результаты Гельмгольца,
относящиеся к случаю двух вихрей.
Можно получить эти результаты более прямым путем, делая их незав симыми
от интегральных уравнений Oseen'a. Мы это сейчас покажем,
воспользовавшись изящным методом, который I. Peres любезно нам сообщил.
