Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вюлля Г. -> "Теория вихрей " -> 58

Теория вихрей - Вюлля Г.

Вюлля Г. Теория вихрей — М.: ОНТИ, 1936. — 266 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyavihrey1936.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 66 >> Следующая

постоянной А'.
Эти неравенства и им аналогичные позволяют нам теперь утверждать, в силу
теорем Корна, что, для п = 1, функции Р", Qn, IiH удовлетворяют условиям
(С31 А"), и в силу теорем Лихтенштейна, удовлетворяют условиям (Щ |
A"'Q). Эти последние позволяют, следовательно, написать:
дР,
i-i
дГ,
tyi fyi-i
< A"'Q,
дъР.
г-i
дУЯ1
< A'"Q,
даР, д*Р,
I / да1

д*Р,
д*р,
дуг-а
^AmQdJ, ...,
и все прочие условия этого рода.
Имея это, остается почти простое переписывание, чтобы доказать
высказанную теорему.
Рассмотрим сперва разности .гг+1 -xv Формулы (8) и (9) позволяют их
вычислить в виде:
"г+i
Щ
дУ,
дн
г-t
9Q,
Ч-i
дУг-1
дг,
(13)
Это количество само ограничено числом вида П9. Рассмотрим произ-
d(xi4-i -xi)
водную --------т----------. Туда входит количество
ОСЬ
д / 9Qi \______Э fdQi-i\
да \ дгх ) да \ дг1_1 J '
которое, очевидно, может быть представлено в виде: dxi . d2Qi дУ, d2Q,
дг,
дг, дх, да дг, ду, да dsf да
PQi-i dxi-1 &1Qi-1 dyt-i Щ-1 d3i-1
дгг_1дхг_1
или еще:
а ^г-i дУг-1 да 1 да
to, Г дЩ,^ 1 / э.гг дхг_х \ ,
да [dztdx, дг[_1дх1_1 J ' \ да да ) dsi_idxl_l '
и, следовательно, неравенства, существующие для ,г{ - Qi-x и и их
производных, дают ограничение вида
И ДЛЯ
dQ,
да \ ds,
\ 9 / \
/ да \ )
также доказываются неравенства вида
92 / dQ{ dqt_y
[ Эг ( dq, I \ дг.
/
9а2 \ 0_~г
*Ц-1
92 / 90
< /11V Q
ds,
dQi-1
9а2 \ дг,
ч
ds
т)1
<a'v <С-
Рассуждения, тождественные с предыдущими, будут применимы для других
членов, фигурирующих в выражении х{+1 -хг (формула 13);
после интеграции между f0 и / получаем неравенства вида:
| я'1+1 xi | A Q | t tc; ,
да fa + i
J*
9а2
(14)
-*,) <Л' QI < - /0!........ j
| [ Эа2 ~X^ ]x _ [ 9a2 i + l ~:V^ ]2 | A Q I'- ;o i dr/ >
где .4V коэфициент, зависящий от 7'0, ia, т|0, C0 и от Q, а это суть
неравенства ((7г | ?3'). Если, следовательно, такие неравенства имеют
место для некоторого значения I, то они будут иметь место для следующего
значения индекса. Для I же, равного 1, имеем х{ = а, и рассуждение,
проведенное нами, показывает, что неравенства будут справедливы для
достаточно малых (/ -/0). Сожмем теперь интервал > -10, налагая условие
тогда, как видим, сможем написать, шаг за шагом, в силу результата,
даваемого первым неравенством (14):
1 я?! - a 1 < Q, |.т2 - .rj <-уЙ,-•
"г-и
2,
откуда получаем:
I ж;+1 - а КI хх - "I +1 -г2 - ;tT 1+ ¦ • ¦ +1 гг+1 " xi I
<2 1+-2" + • • • + j< 20 < (r)о>
и совершенно подобные следствия будут существовать для первой и второй
производных. Таким образом мы устанавливаем, что неравенства (Сг | 20),
справедливые для хп -при индексе I, будут также справедливы при следующем
значении индекса, I +1 - и, следовательно, для всякого значения индекса.
Высказанная теорема, следовательно, полностью доказана.
Определение х, у, з внутри области Т0 -f- S0. Ясно теперь, что если мы
рассмотрим ряд:
или его производные, первую и вторую по а, Ъ, с, то будем иметь ряды,
сходящиеся абсолютно и равномерно в TQ-\-S0 при достаточно малых (I -
tQ). Будем называть через х сумму ряда (15) и через у и з суммы двух
аналогичных рядов, писать которые излишне.
Равенство
ж - а = (г, - а) + (жа - "!)+... -f (хп - хп_ ,)+•¦¦ (16)
даст нам, кроме того, в силу уже доказанных результатов, неравенства (С2
| 20) для х - а, у - Ь, з - с, а именно, например:
Определенные так функции (ж, у, з) до сих пор рассматривались в области
Т0 пространства (а, Ъ, с). Я утверждаю, что они там удовлетворяют
уравнениям (2), которые подлежат решению.
В самом деле, ив (16), (5) и (13) следует, что мы имеем, например :
Если же мы назовем ?, rh С функции, определенные уравнениями (3):
гделс, у, з функции, только что определенные выше; если назовем Т и S
область и граничную поверхность, соответствующие Т0 и S0
+ (ж2 - *l) 4- • • • + (Хп - '1) + • ¦ ¦
(15)
дх . дх . дх
при помощи тех же функций, и если, наконец, назовем Р, Q, В функции,
аналогичные /*", Qn, Вп, из них вытекающие, то сможем заключить, что,
например:
¦'="+./ *{%-%)¦ <'">
А)
Не вникая в детали, ясно, что это следует из,того, что когда х, у, г
определены, как было сказано, то разности ж - хп..., стремятся к нулю
вместе с - ; в самом деле, хп является суммой (и +1) первых чле-
11
нов ряда
a -j- (ж, - a) -f (ж2 - ж,) + (хв - ж2) -f {хп- хп+г)+ ..
ш имеем:
Х - Хп = (хп+1 -хп) + (х"+е - *я+1) + • .
и, следовательно:
!.",,< (if, [1+4 + (1)*+-.]<(ф)"Ч
Из этого неравенства и аналогичных, касающихся первой и второй
производных, очевидно, оледует, в силу теорем Лихтенштейна, дока-
дВ дНп
занных в конце прошлой главы, что разности типа-^ щ- стремятся
равномерно к нулю вместе с -•, так что равенство (18) влечет за собой
(19).
Определение х, у, г вне Т0. Может случиться, что функции ,т, у, з, данные
формулами (19), определены не только тогда, когда (а, Ь, с) лежит в
области Т0, но также и во всем внешнем объеме. Мы, следовательно, имеем
функции х, у, е, определенные везде.
Эти функции х, у, з образуют решение задачи.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 66 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed