Теория вихрей - Вюлля Г.
Скачать (прямая ссылка):
трактоваться как предшествующее уравнение (6). Эта задача, очевидно,
тождественна с задачей об одной цилиндрической вихревой трубке,
перемещающейся в жидкости, ограниченной одной неограниченной плоской
стенкой. Методом изображений можно также изучать такого рода задачи,
касающиеся, например, цилиндрического вихря в канале, вихря в сосуде
прямоугольного сечения, вихревые цепочки, аналогичные цепочкам Бенара-
Кармана в канале, и тому подобное.
ГЛАВА XIV
НЕСКОЛЬКО СЛОВ О ВИХРЯХ в вязких жидкостях
Настоящий труд был бы неполон, если бы мы не сказали ни слова о теории
вихрей в вязкой жидкости. Хорошо известно, что в вязкой жидкости теоремы
Гельмгольца не будут существовать. Мы вкратце, пользуясь плодотворными
результатами С. W. Oseen'a, покажем на конкретном примере, каким образом
в несовершенной жидкости вихри уничтожаются, обобщая результаты на случай
пространства (С. W. Oseen, Acta mathematica, t. 34; Hydrodynamik, § 8).
Мы ограничимся плоско-параллельпыми движениями, т. е. теми, которые
приводятся к двум измерениям в плоскости хОу, и мы начнем с напоминания
интегральных уравнений Oseen'a для медленного движения жидкости в
плоскости, -уравнений, которые мы применим дальше для движения не
медленного.
Предварительные данные. Известно, что уравнения медленного движения
вязкой " .идкости, если обозначить через о- коэфициент вязкости, имеют
вид:
др
ди
gj - Р-я7+Р* = °,
dt
a dv .
^"^-Р-яГ+Р* =°>
дх
д t
О)
Система, присоединенная к данной, будет: цД и
дР , 3V gJ + P -= 0-
\v дГ I
дЦ дУ _ дх + ду ~
dt
дУ
dt
= 0.
: О,
(^)
Будем искать решения присоединенной системы, которые будут вида:
329 т. З2?
и=
ду'
а >
дхду '
(3)
что дозволит взять для Р выражение:
(3'>
при условии, что <? удовлетворяет уравнению
д |р.Д<р4-р =0. (4)
Попытаемся взять за (r) функцию, зависящую только от Г = V С* - хо)2 4- (у
- У о)2
и от /. Тогда
1 д9 1 8(гж)
0(r)<р ^
Д"(г, +7г з7==7' ^ • (о>
При этих условиях легко усмотреть, что, в частности, функция:
¦и-(to- t)
f/eJ
/р"* Л
1 - pl/VCto-*) i I 1-е-'
1 Л"т J
о о
удовлетворяет уравнению (4). В самом деле, мы имеем;
р)'"
Эф, 1 -е V№>-о
2 da (0)
дг г
и, следовательно, согласно уравнению (5):
рУ2 1
Ди -!- с (t0- #)--------•
2(,е /0-Г
но мы имеем также
Следовательно:
и ПОТОМУ
^2i=-L(i_p "з(1-")-
dt 2V Ч-'
что и требовалось доказать.
Можпо слегка преобразовать выражение (6) для вводя функцию:
Действительно, введя некоторую постоянную Л, например, ,4 = 1, можно
написать:
Л ра2 + со А
Г!_е-4Тет Г-^*аа п dt
= J 5 da~Je --Ъг,
О Ат
и ясно, что эта равность постоянна; она, таким образом, не играет
существенной роли. При помощи (r), (или ФД можно, следовательно, образовать
два решения:
32?1 т/ __ д_
дх ду ' !. дх
д2?! р 'д_
2 ду
' di/'
_ Э"?
дх ду '
г, = -
Fa =
17, =
тт
- я,, я,,' '2 1 9^2 '
из которых второе, по симметрии, выводится из первого.
=0,
(•¦•) = О,
(9)
Из факта, что (lg г) гармоническая функция в плоскости, следует,
что частным решением присоединенной системы (2) будет также:
_ t*"
и*
рг2е - t) 31gp J3= 4р. (/0 - О*
f*3
дх
pese 4е(Ь,-О dlgr 4p (/о-*)* dij / E±__
3 ( р2в2 Й 4M"o-t)
l>1 ~ ItVTf -
(10)
lg"-,
где г постоянная.
Все эти решения регулярны по всей плоскости для t < 10 с особенностью при
г = 0. Пусть тогда К (!) граница области В (<)> в которой решение (и, v,
р) системы (1) регулярно при О < ! < /0, и пусть М0 точка (х0, у0),
находящаяся в В.
Простая комбинация уравнений (1) и (2) дает нам:
Проинтегрируем это уравнение в области B'(t), полученной из B{t)
удалением маленького круга 2 с центром М0 и радиусом s. Преобразуем
интеграл в криволинейный, пользуясь формулой
Результат интегрируем по t, между моментами О и 10, и переходим к
пределу, устремляя s к нулю.
Если Un означает скорость точки по нормали на границе К и если
предположить, что мы оперируем с решением (Ul ,Vv 0), то получаем, таким
образом, интегральное уравнение Oseen'a (в цитированных выше мемуарах
можно увидеть детали описанных только что операций):
I дР
р. [(иД U- t/Дм) -j- (гД V - 7Дг)] - I и ~ - ЕЕ
- (v % ~ 7 %)+р w{uU+vV)-р'+V?)=°-
и аналогичными; в силу уравнения неразрывности:
= J Р (и cos пх -|- v cos пу) ds.
Получаем аналогичную формулу, дающую v (^0, t0), беря решение ((Л,, Fs,
0). Решение же (7Х>, V3, Ps) приводит к формуле для р:
2ярО-о, ?/о. У
в (ад
Slg
1
Slg
1
а-(ад
Slg-
dn
дх
дх
~)-г
Slg
ду
1
(lit
S//
с/а •
дк
Ь.с
ц
-р ~ f (и cos по: -(- v cos >"/)?"I? - tfs.
S'o л " y
(12)
Мы применим сейчас эти формулы к одной задаче о вихревом движении в
плоскости, относящемся к вязкой жидкости.
Предположим, что в начальный момент 1 = 0, имеем круговой вихрь 20
радиуса а, имеющий центром О и симметричный относительно О.
Будем искать дальнейшее движение для i > 0.
Выражение вихря
dv ди_
д х ду
(13)
Рис. 01.
и, следовательно, оно равно нулю всюду при I = 0, кроме В < а;
внутри этого круга мы будем предполагать X, непрерывным и отличным от
