Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
П = -[4я(2ш)эя lh3\kET+J dnn'11 In [1 + exp((f-г,)! къТ)] +
о
+ [тг(2ш*)3/1 /ЗА3 | (цьН)1 7 dzz1/1 / [1 + ехр ((z - Г)/АгБ7')Г‘. (3.135)
О
Применяя к интегралам в (3.135) процедуру, использованную при вычислении интеграла (3.49), для нулевого приближения находим
П = - 16тг(2ш*)3/1 f5'1 /15Л3 + (2тг(2ш*)3/1 f1'1 /3/i3)(>iBW)1. (3.136)
Для намагниченности имеем / = - (ЭП/Э//)$•. Используя (3.136) с f = и m = m*, по-лучим
/= - (4?r(2m)3/1 /зл3)?,!'1 ц^Н.
Заменяя по (3.36), находим для диамагнитной восприимчивости по Ландау
х^= ' (4TTW/3*1) (3«/тг>,,э цгъ, (3.137)
что точно совпадает с (3.128). Используя в (3.136) разложения по более высоким степеням ц^Н, можно вычислить зависимость от Т и Н при сильном вырождении1. Однако полученный результат справедлив дишь для свободных электронов с квадратичным законом дисперсии и при условии (3.133).
Сделаем одно важное замечание. При написании квадратичного закона дисперсии (3.23) массу электрона проводимости обозначили /и*, ибо она может отличаться от массы свободного электрона в вакууме. С другой стороны, магнетон Бора /иБ в формулах для Хдм появился как замена определенной группы констант, входящих в выражение и>н по (3.109) (см. переход от (3.118) к (Э.120)). Поэтому, строго говоря, выражение
1 См., например, Stoner Е. - Ргос. Roy. Soc., 1935, v. А 152, p. 672. 144
(3.137) следует записать так:
Хд^ =-(4«г*Мс//!2)(я/3)2/3(ш/т*)2 (3.138)
(один множитель т* возникает из выражения (3.36) для f0). Таким образом, полная восприимчивость Хдм электронного газа при квадратичном законе дисперсии, но с эффективной массой, будет иметь вид
эл эл Эл = 1*"Уб M\2/3[l--f—П. (3.139)
Аполн Лпм тЛдм 2 \ з / L 3 \ т ) \
Из (3.139) видно, что Хполн =2Хпм/3 только при т* =т. Если жет* > > т/ \/Т, то суммарно электронный газ всегда парамагнитен. Наоборот, при т* < т/ л/З'он всегда диамагнитен. Таким образом, диамагнетизм Ландау может быть принципиально наблюдаем в газе электронов с малыми эффективными массами (т* < т/у/Т).
3.5.6. Осцилляционные эффекты в ферми-газе
В общем случае энергия электрона в магнитном поле складывается из суммы энергий(3.120) и (3.96):
€{1,р:,Н)=рЦ2т* +hu>H(2l + I) - цзлН. (3.140)
Подставляя (3.140) в (3.130), можно, в принципе, вычислить магнитную восприимчивость электронного газа без разделения ее на диа- и парамагнитную части, как это делалось выше, а также более точно учесть все особенности статистики Ферми — Дирака. Эти вычисления очень громоздки, поэтому ограничимся элементарным способом выяснения некоторых особенностей магнитных свойств ферми-газа.
Еще в 1931 году В.Дж. де Гааз и П.М. ван Альфен обнаружили на опыте периодическое изменение магнитной восприимчивости в висмуте при изменении магнитного поля в области низких температур. Это явление можно объяснить, если отказаться от ограничения, накладываемого условием рБН<кБТ, лежащего в основе всех предыдущих вычислений и провести строгий расчет, пользуясь термодинамическим потенциалом (3.130). Качественно это можно понять, если обратиться к рис. 3.11, а, а также к элементарному выводу в 3.5.5, из которых видно, что степень вырождения уровней Ландау определяется величиной поля согласно (3.124). Если это число больше числа электронов N, то все они ’’уместятся” на одном уровне с / = 0; с уменьшением поля число мест уменьшается, тогда электроны начнут ’’перебираться” на следующий уровень с / = 1 и т.д. Поэтому магнитные и вообще все свойства электронов будут периодически меняться с изменением величины магнитного поля, а восприимчивость будет менять не только величину, но и знак, что наблюдается на опыте.
Из рис. 3.11 легко получить оценку периода этих изменений по обратной величине магнитного поля Д (1/Я). Рассмотрим два значения поля Я! >Я2, для которых число уровней Ландау с энергиями, меньшими или равными ?0, соответственно равны N' и N' + 1. Тогда имеем
Го/2мбЯ, =N', Г„/2мб Н2 =N' + 1,
10. Зак.768
145
откуда для периода осцилляции находим
Д[1 /Я] = 1/Я2 - 1/Я, =2jl,b/f0. (3.141)
Пайерлс1 исследовал магнетизм электронов при условии
цьН>кьТ. (3.142)
Он рассмотрел двумерный электронный газ при Т= О К в магнитном поле, перпендикулярном его плоскости. Уровни энергии при этом, согласно (3.140), равны
е,=цъН(21+\).
В двумерном случае для степени вырождения по (3.124) имеем
g, = 2 I с | HS/ch = 0Я /3 = 2 | с | S/cA, (3.143)
где 5 - площадь системы. Если больше полного числа электронов А', то
все они занимают состояние с / = 0, и полная энергия равна & = — ей
по (3.122) соответствуют намагниченность 1 = нц Б и нулевая восприимчивость. По мере уменьшения магнитного поля Н уменьшается и нолная энергия & до тех пор, пока g/ не станет меньше, чем А^; тогда часть электронов, по принципу Паули, перейдет на уровни с / = 1, и, следовательно, с уменьшением поля энергия увеличивается, т.е. система становится парамагнитной. Легко найти общее выражение полной энергии &, когда N электронов полностью заполняют г наинизших уровней Ландау и частично заполняют г + 1-й уровень, согласно неравенствам
