Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
и>н = 2cj/ = | с I///тс, (3.109)
т.е. в два раза больше ларморовской частоты электрона в атоме при той же величине поля.
В квантовой механике движение электрона в электромагнитном поле описывается оператором Гамильтона
J( = (l/2m) ^р------A (r)j +eK(r)
где р - оператор импульса (р = -/hV), А (г) =А (х, у, z) - оператор векто-
/ 1 а4\
ра-потенциала поля \Н= rot А.Е = W----------------,а ^ - оператор его ска-
' с dt /
лярного потенциала. При наличии только одного магнитного поля(К = 0) имеем
ЗГ=(1/2/л)^ “'4)2- (311°)
В случае однородного магнитного поля, направленного по осvlz,H = = (0, 0, Н) вектор-потенциал равен
Ах = -Ну. Ау = А. = 0. (3.111)
Подстановка (3.111) в (3.110) дает для уравнения Шредингера (3.20)
fi2 ieh дф е2Н2 ,
------Аф - -------Ну — +-----------у2ф = &ф. (3.112)
2т тс дх 2 тс
В (3.112) можно разделить переменные и искать решение в виде
ф (г) = ехр (/ах + ifiz) >р (v), (3.113)
где а и jj - некоторые постояннные, имеющие размерность см"1. Подставляя (3.113) в (3.112), находим уравнение для у (у):
h2 d2<p(y) eha е2 Н2
- ------77— + ------ Пуф (у) + -—- у2# (у) =
2т ау тс 2 тс
a2 h202
? -¦
*00- (3.114)
J.m Zm J Вводим новую переменную
у = у - hас/еН (3.115)
и используем обозначения (3.109) и
е = ? Ь2 р212т. (3.116)
' Величина ш0 ~ 10‘6 с"' , а при Н - 104 Э - 8 • 104 А/м, а \е\Н/2тс ~ 10" с '.
140
Рис. 3.11. Формирование уровней Ландау из непрерывного спектра. Рис. 3.12. Проявление уровней Ландау и импульсном прост ранете.
Тогда (3.114) принимает вид уравнения осциллятора массы ш и частоты а}ц.
h2 d2*p тсоц у'2
--------— + ¦ ~ ¦ i = е*. (3.117)
2т лу 2
Из ре1исния задачи квантового осциллятора известно1, что с = = hej//(/ +1/2),/ = 0, 1, 2, . . . Таким образом, в силу (3.113) и (3.116). энергия частицы в однородном постоянном магнитном поле // будет равна
? (/, 0) =hcj//(/ + 1/2) + \\2$211т. (3.118)
Второй член в (3.118) дает кинетическую энергию движения электрона вдоль поля; при этом обобщенный импульс по оси г равен
Pr=h0, (3.119)
т.е. для составляющей импульса вдоль поля спектр энергий, как и в классическом случае, остается непрерывным. Первое слагаемое лает дискретный спектр эффективного осциллятора (уровни Ландау) вместо непрерывного спектра (р2х + р\)!7т при // = 0. Используя (3.109), (3.92) и (3.119), формулу (3.118) можно записать в виде
? (/, рг) = 2цбН(/ + 1/2) +р]/2т. (3.120)
Частичное квантование энергии электронов в магнитном поле можно представить следующим образом. При Н = 0 энергетический спектр, соответствующий движению электрона в плоскости (.v. г), квазинепрерыв-ный-(р2+р2)/2ш, что изображено сплошной полосой на рис. 3.11 от е =0 до е = При НФ 0 полоса разбивается на полоски шириной
Ае = 2цьН\и+\) + 'Л / й) = 2цьЧ, (3.121)
каждая из которых превращается ("охлопывается") в один дискретный уровень Ландау, лежащий точно в середине полоски (рис. 3.11). Степень вырождения каждого дискретного уровня будет пропорциональна 2цБН.
1 См., например, Ьлохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Высшая школа. 1961. 847.
141
Рис. 3.13. Расчет статистического веса для электронов в магнитном поле.
Появление уровней Ландау для электронов проводимости в магнитном поле можно изобразить и в р-пространстве. На рис. 3.12 изображен один октант сферы Ферми АСВ. Возникновение уровней Ландау сводится к замене сплошной сферы набором вписанных в нее концентрических цилиндров с общей осью р. и с расстоянием 2ц^Н между соседними цилиндрами.
Для определения диамагнитной восприимчивости электронного газа необходимо вычислить статистическую сумму Z (Т, Н), затем определить термодинамический потенциал Ф(7', Н) = = — kBT\nZ и намагниченность
/ = ЭФ/ЭЯ = квТЪ In Z (Т, Н)/дН. (3.122)
Ограничимся для простоты случаем статистики Максвелла. Тогда имеем
Z(T,H) = Zg,exp(-ei/kbT). (3.123)
i
Найдем сначала значения статистического веса gt для частиц со спектром энергии (3.120), т.е. число состояний в объеме фазового пространства в виде цилиндрического кольца высотой dp,, внутренним радиусом pL = = (Рх + Ру)1^2ц шириной dpi (рис. 3.13). Объем кольца равен 2яр± dpv dp.. Согласно (3.120), в квантовой механике
