Квантовая физика твердого тела. - Вонсовский С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Nq ~ ехр (-heOq/kB Т). (5.154)
Для открытых поверхностей Ферми (рис. 5.5, б) процессы переброса
1 Здесь в основном мы следуем Ландау Л.Д., Компанейцу А.С. Электропроводность металлов. - Харьков: ОНТИ, 1935; см. также Цитированную в 5.3.1 монографию Займана Дж., а также Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979.
1 См., например, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1974, § 126.
3 Или границ элементарной ячейки обратного пространства, выбранной любым способом.
301
Рис. 5.4. Схема передачи импульса при рассеянии.
Рис. 5.5. К определению процессов переброса: для закрытой (в) и для открытой поверхностей Ферми (б).
S)
разрешены при сколь угодно малых q. Опыт показывает, что эффекты увлечения слабо проявляются в сопротивлении металлов, но заметно — в термо-э.д.с.1. В тех сравнительно редких случаях, когда поверхность Ферми замкнута, это связано с тем, что фононы передают импульс дефектам; впрочем, расстояние от поверхности Ферми до границ зоны Бриллюэна ле бывает большим, а, значит, экспоненциальная малость Nq в (5.154) может проявиться только при очень низких температурах. В дальнейшем мы будем считать фононы равновесными.
Оценим типичные значения w при высоких и низких температурах (T>dD) и (r<0D). При Т > dD возбуждены все фононы, и средний переданный импульс q порядка постоянной обратной решетки. Все характерные электронные энергии в металлах, в том числе деформационные потенциалы, порядка f0- Величина h/Mojq, входящая в (5.151), порядка h2IMkB0D. Согласно (5.67)
m/M ~ (s/u®)2 ~ (кввD/fo')2, откуда
Ъг/Мквво~(квео/$0)(\/кЪ).
Так как w имеет размерность обратного времени, можно записать:
w~kBdD/h. (5.155)
При Т > 0D энергия фонона мала по сравнению с тепловым размытием ’’фермиевской ступеньки”, поэтому ею можно пренебречь в 6-функциях в (5.152) и считать рассеяние упругим. Частота столкновений пропорциональна wh числу фононов Nq ~ T/Bjy Поэтому для удельного электросопротивления можно записать:
р = а1 = (m/Ne2)(l/Tl 1/т ~ kBT/h, Т>ви. (5.156)
1 См. цитированные на стр. 299 и 301 монографии Займана Дж. и Лифшица Е.М. и Пи-
таевского Л.П.
302
Итак, при высоких температурах сопротивление растет линейно с ростом Т. Этот результат уже был получен в модели ’’блуждающих” электронов (§ 3.4). Так как при Т> в0 рассеяние можно считать упругим и приблизительно изотропным (ибо возбуждены фононы со всеми значениями q и рассеяние на разные углы примерно равновероятно), все выводы § 3.6, в частности, закон Видемана — Франца, остаются в силе.
Более интересен случай низких температур. При этом характерные величины cjq порядка kB T/h, а характерные величины q порядка
q~kBT/hs ~(кБТ/Ьиф)(М/т)112. (5.157)
Тогда оценка для w, аналогичная проведенной выше для со?, дает
w ~ kBT/h , T<6D (5.158)
(выкладки предоставляем читателю в качестве упражнения; надо аккуратно подсчитать степени температуры и безразмерного параметра т/М и воспользоваться соображениями размерности). Энергия фонона порядка величины теплового размытия поверхности Ферми, так что в смысле релаксации энергии каждое столкновение эффективно. Иное дело — релаксация импульса. При Т< в0 из (5.157) находим
д/кФ ~ (кв 7/fo) (M/m)112- Т/вп < 1 (5.159)
Следовательно, переданный импульс мал и рассеяние происходит на малые углы. Процесс рассеяния можно представить как медленную диффузию электронного импульса, получаемого от электрического поля, по поверхности Ферми. Вероятность рассеяния W пропорциональна числу столкновений с фононами и w, характеризующей эффективность столкновений. Фононы заполняют шар в ^-пространстве радиусом (5.157) ; закон сохранения импульса определяет к' при каждом данном к; закон сохранения энергии
е* = *k+q ± hb)q (5.160)
фиксирует направление вектора q при его заданной величине. Для свободных электронов
*к+д ~ » h2kq/m.
В силу условия s иф (5.160) дает qk « 0, т.е. вектор q должен быть направлен перпендикулярно фиксированному вектору к. Это условие выделяет сечение заполненного фононами шара в g-пространстве. Число столкновений пропорционально площади сечения, т.е. (T/0D)2. Так как Wh w должны иметь одинаковые размерности, получаем
w ~ w(T/eDf ~kBT3/hd2D. (5.161)
Весь импульс, получаемый от поля электронной подсистемой за данный промежуток времени, должен в точности компенсироваться его рассеянием при диффузии электронов в Л-пространстве. Поток частиц в единицу времени пропорционален произведению коэффициента диффузии D на градиент функции распределения в импульсном пространстве; среднее значение последнего пропорционально полному току /. С другой стороны, изменение импульса за счет электрического поля в единицу времени про-
