Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
пропорционально n-спиновой корреляционной функции. В этой главе те же
самые соотношения будут установлены на более фундаментальном уровне и с
большей аккуратностью. Большая аккуратность означает, например, введение
специальной (и нековариантной) процедуры обрезания в теорию
взаимодействия ф4, а также отказ от использования разложения по
фейнмановским диаграммам.
Связь между критическими явлениями и теорией поля обнаружили и
использовали в диаграммной форме Грибов и Мигдал [61, 69], а также
Поляков [71-73]; детальное сравнение фейнмановского интеграла по путям со
статистической суммой провел Мур [74]. Эта связь обсуждается также в
диссертации Сури [75]. В настоящей главе (как и в работе [75]) основное
внимание уделяется матрице переноса.
Главным моментом обсуждения будет квантовая теория поля на решетке. В
этой теории вместо обычных полевых операторов Ф(х) мы имеем "дискретные"
операторы фп1). Простые гамильтонианы, используемые в теории поля на
решетке, имеют вид, соответствующий связанным гармоническим или
ангармоническим осцилляторам (см. ниже). На взаимодействие будет
налагаться также условие локальности: гамильтониан Н должен иметь вид
суммы
Я = Е Ят, (10.1)
т
•) То есть операторы, заданные на дискретном множестве, которое образует
в координатном пространстве х некоторую решетку, - Прим. перев.
144
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
где Нт зависит только от операторов ф" для узлов п, близких к узлу т.
Квантовая теория поля на континууме сводится к теории поля на решетке с
помощью подходящего метода обрезания; в свою очередь теории поля на
решетке с помощью формализма "матрицы переноса" (см., например, [120])
будут расматриваться в рамках статистической механики.
Различные процедуры обрезания должны, вероятно, искажать исходную теорию
взаимодействия ф4, даже если эта теория имеет смысл. В рамках теории
возмущений от эффектов большого, но конечного обрезания можно избавиться
с помощью стандартной ренормализационной техники. Теория перенормировок,
не использующая теорию возмущений, будет изложена в гл. 12. В конце
настоящей главы будут сделаны некоторые предварительные замечания,
устанавливающие эквивалентность бесконечного обрезания в теории поля и
бесконечной корреляционной длины в статистической механике.
Теории поля на решетке не являются инвариантными относительно
преобразований Лоренца (или инвариантными относительно евклидовых
преобразований для мнимых времен). Лоренц-инвариантность должна
восстанавливаться в континуальном пределе. Основные свойства этого
предела определяются способом перенормировки. В рамках теории возмущений
лоренц-инвариантность действительно восстанавливается. (Например, все
диаграммы в гл. 13 и 9 евклидово-инвариантны.) Условия, необходимые для
получения инвариантности относительно евклидовых преобразований в общем
случае, рассматриваются в гл. 12.
Между гамильтонианом, с которым имеют дело в статистической механике, и
гамильтонианом, используемым в теории поля (определенном в этой главе),
не существует тривиальной связи. Если гамильтониан в статистической
механике определен в пространстве размерностью й, то отвечающий ему
гамильтониан в теории поля действует в пространстве размерностью d-1.
Гамильтонианы взаимодействия в статистической механике обозначаются далее
через 36, а гамильтонианы в теории поля - через Н. Гамильтониан
взаимодействия в статистической механике 36 более тесно связан с
лагранжианом в теории поля (см. ниже и [74]).
Формализм матрицы переноса рассмотрен во многих работах, например в
работе [120], однако здесь мы кратко изложим идеи этого метода. (В работе
[120] он был использован в качестве базиса для подробного вывода решения
Онсагера
145
ГЛАВА 10
для двухмерной модели Изинга.) Рассмотрим для случая дискретной решетки
модель, соответствующую статистической механике. По определению
статистическая сумма для этой модели имеет вид
Z = П (S dsm ехР { " Is(tm) - Vm} ) еХР ( ^ Z Е SnSn+? | •
т I я Т >
(10.2)
где все обозначения заимствованы из гл. 3 и 4; сумма по i представляет
собой сумму по d осям; i - единичный вектор вдоль оси i. Статистическая
сумма (10.2) включает в себя интегрирования по спинам в каждом узле
решетки. В показателях экспонент имеются члены, связанные с каждым
индивидуальным узлом решетки, а также члены, отвечающие взаимодействию с
ближайшими соседними узлами. С помощью некоторого построения мы сейчас
покажем, что Z можно записать в виде
Z = Sp7\ (10.3)
где N'- число узлов в решетке (в настоящем изложении предполагается, что
оно конечно), а V - матрица переноса, которая будет определена ниже. Для
начала необходимо описать порядок интегрирований в (10.2). На плоской
решетке спиновые переменные интегрируются по рядам (фиг. 10.1). (Для
решетки размерностью d в качестве ряда выступает подрешетка размерностью
d-1.) Схематически Z записывается следующим образом:
Z= ... J ... J ... ( .... (10.4)
