Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
индексов в диаграмму, которая дает вклад в ?/ар.
на диаграмме индексы i и j. На фиг. 9.5, а и б показаны две возможности
для Ua$, а на фиг. 9.6, а и б - две возможности для Uafnj. Комбинаторный
множитель, сопоставляемый диаграмме на фиг. 9.5,а, равен 4-4-2п.
Множитель п возникает от прямого суммирования по индексам внутренней
петли. В действительности любая диаграмма с индексами во внутренней петле
дает член, пропорциональный п. Кроме того, существуют 4 возможных
способа, которыми можно построить верхнюю четырехточечную вершину. Такой
же множитель возникает при построении нижней вершины. Наконец, имеется
множитель 2, равный числу способов образования петли после того, как
определены обе вершины. Аналогичным об-
140
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
разом находим комбинаторный множитель, соответствующий фиг. 9.5, б; он
равен 64 п. Величина полного множителя для этих двух фигур равна 96 п.
Существуют также диаграммы без петель (типа той, которая изображена на
фиг. 9,6, б), дающие вклад в Uaр. Если принять это во внимание, суммарный
числовой множитель будет равен 96 (п + 2). Комбинаторная задача для
Uaвключает в себя подсчет других комбинаций. Диаграмма на фиг. 9.6, а
дает вклад, пропорциональный 32 п (вычисления идентичны расчетам
комбинаторного множителя, соответствующего фиг. 9.5, а). Однако это
единственная диа-
а
Фиг. 9.6. Диаграммы а и б изображают два различных способа подстановки
индексов в диаграммы, дающие вклад в Uapii.
грамма, которая дает петлевой вклад в на фиг. 9.6, б
показана одна из непетлевых диаграмм, дающих вклад в иа$ц. Учет всех
возможностей приводит для Ua^j к комбинаторному множителю, равному 32 (п
+ 6).
Совместный учет величины интегралов и комбинаторных множителей дает
Г 96 (л+ 2) "о,1
ф1 g (1бя2)2 J ' (9-14)
Дополнительный множитель 2 в члене порядка О соответствует тому факту,
что индексы аир могли бы по-
141
ГЛАВА 9
явиться либо в верхней, либо в нижней линиях на фиг. 9,5, а и б и т. д.
Аналогично
Г 32 (п + 6) ut I
|_1 6 (16л2)2 lnrJ- (9.15)
Соотношение (9.14) следует сравнить с результатом, полученным на
основании скейлинга '):
q*/dT-d-'W*-\ (9.16)
Так как показатель т) имеет порядок О ("о), в знаменателе экспоненты
(9.16) им можно пренебречь. Тогда, сравнивая (9.16) и (9.14), находим
rfr = rf + T1_^.(n + 2)TIJ?. (9.17)
Используя для т) предыдущий результат (9.10), нетрудно показать, что
второй и третий члены в (9.17) сокращаются, оставляя для dr, как и
утверждалось выше, выражение
dT = d. (9.18)
Чтобы определить аномальную размерность d(Tц) для Та$ц, сравним (9.15) с
(9.16). Это даст
d(rt/) = d + 4--f-(/i + 6)_4)T. (9.19)
Если использовать (9.10), соотношение (9.19) примет вид
d(Tij) = d+ з-(-п~4- 8)2 "2. (9.20)
Выбирая п = 3 (таким образом, величины s4- образуют изо-спиновый
триплет), получаем
d(Tij) = d + -^-. (9.21)
Так как г по порядку величины не превышает единицы, отклонение d(Tij) от
d весьма мало. Конечно, поправки к d(T{j) более высоких порядков изменят
конкретное выражение для d(Tij)-d, однако ожидается, что
полуколичественный результат, который утверждает, что разность d(Ta)-d
мала, по-прежнему будет иметь место. Причина малой аномально-
*) См. соотношение (7.39). - Прим. перев.
142
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
сти кроется в том, что вклад от диаграммы порядка и0 (фиг. 9.3)
тождественно равен нулю.
То, насколько этот расчет относится к делу, является, конечно, вопросом
дискуссионным. Однако он представляет собой реальный пример масштабно-
инвариантной теории, с помощью которой можно реально вычислить аномальные
размерности. Возможно, что аномальные размерности, определяющие на самом
деле поведение глубоко неупругого рассеяния [95, 117], также очень близки
к каноническим. (Для ознакомления с недавними исследованиями глубоко
неупругого рассеяния электронов, использующими теорию возмущений, см.
работы [118, 119].)
Так как и0 имеет порядок е, ясно, что при г->0 "о-* О, это означает
отсутствие взаимодействия, когда d-* 41). Следовательно, изложенное выше
вычисление непосредственно не применимо к реальной физике элементарных
частиц. Мы надеемся, однако, что все обнаруженное здесь для размерности
d< 4 (скажем, d = 3) позволит нам понять, к чему приведет некоторая более
реалистическая теория при d = 4.
Аномальные размерности вычислены также для тензорных операторов Т m-то
ранга:
для четных т. Они будут обозначаться соответственно Т(т) и Т(т) и•
Результаты, с точностью до е2, имеют вид
(9.22)
(9.23)
') См. примечание в гл. 7, стр. 104. - Прим. ред.
Глава 10
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
В гл. 9 было приведено краткое доказательство того, что фейнмановские
диаграммы, представляющие взаимодействие ф4 (преобразованные к мнимому
времени, т. е. в евклидовой метрике), совпадают с диаграммами,
соответствующими статистической сумме и рассмотренными в предыдущих
главах. Более точно, вакуумное среднее произведения п полей ф
