Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
следует переписать в виде
ехр { - f - Г Q (у + 2'-"х) - i Q (-у + 2-(tm)х) } =
= ехр {- (1 + г) у2 - 22~drx2 -иу4 - 6 • 22~duy2x2 -
~24~2duxi- ...}, (6.6)
а затем разложить по степеням одночленов четвертой степени и выше
(пропорциональных и). Разложение можно выполнить
96
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
с помощью диаграмм, точно так же, как это было сделано для точного
функционального интеграла1). Члены ш/4, Quy2x222~d и их424~2d, например,
определяют вершины с четырьмя концами, причем член иу4 соответствует
случаю, когда все линии внутренние, а член 6uy2x222~d - случаю, когда 2
линии внутренние, а 2 внешние и т. д. Пропагатором для внутренних линий
является величина, обратная коэффициенту при члене 1/2у2 в (6.6), а
именно (2 + 2г)-1. Легко видеть, что отсутствие в (6.6) членов, нечетных
по у, согласуется с правилом 3, которое устраняет из рассмотрения вершины
с нечетным числом внутренних линий. Без правила 3 в выражении
(6.5) мы вместо экспоненциального показателя с двумя членами, содержащими
функцию Q, должны были бы иметь ехр [-у2 - Q(y -j- 21-<г%)]. Тогда член
ту2 в Q(y) превращается в выражение г (у + 2l~d,2x)2, содержащее
перекрестный член гху. Это именно тот член, который соответствует
диаграмме, изображенной на фиг. 6.2; он исключается в показателе
экспоненты, входящей в выражение (6.6), и не присутствует в полной
теории. Переменные х и у аналогичны переменным а0 и Oj , введенным в гл..
4, причем в этой главе так же нет перекрестного члена, имеющего вид а0 •
at _q.
Знаменатель в выражении (6.5) позволяет исключить все диаграммы, не
содержащие ни одной внешней линии (согласно терминологии теории поля это
есть диаграммы, соответствующие переходам "вакуум - вакуум"). После
логарифмирования правой части (6.5) устраняются все несвязанные
диаграммы. Итак, выражение -Q'(x)/2d является суммой всех связанных
диаграмм, содержащих по крайней мере одну внешнюю линию. Заметим, что
член х2 в (6.6) выносится из-под интеграла (6.5) и дает в г' вклад,
равный 4л. Мы узнаем в нем обычный член, соответствующий модели без
взаимодействия 2).
Наиболее важным свойством формулы (6.5) является то, что эта формула
(кроме ограничения, связанного с правилом 3) приводит к тому же самому
множеству диаграмм3), которое порождается при разложении точного
функционального интеграла. Это обусловливается тем обстоятельством,
') См., например, в гл. 4 выражения (4.20) - (4.22) или в гл. 5 выражение
(5.9).-Прим. перев.
2) См. гл. 3 и 4. - Прим. перев.
3) См. гл. 5. - Прим. перев.
4 Зак. 409
97
ГЛАВА 6
что сами по себе диаграммы не зависят от того, является ли переменная
интегрирования единственной вещественной переменной у, или представляет
собой множество переменных, или является функциональной переменной aq.
Различие возникает только при формулировке соответствующих правил для
построения диаграмм; например, в случае точного функционального
интегрирования вершине с четырьмя концами сопоставляется щ{ц qz), в то
время как в приближенной
рекуррентной формуле этой же вершине отвечает и. Более того,
топологический множитель, связанный с диаграммой (например, множитель 36
для диаграммы на фиг. 6.1), в обоих случаях также одинаков; он равен
числу топологически эквивалентных способов объединения заданного
множества вершин и пропагаторов, а это есть проблема подсчета числа
некоторых определенных комбинаций; она включает в себя рассмотрение
диаграмм только самих по себе, безотносительно к тому, что они
представляют конкретно.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Проверка справедливости первых двух правил является теперь делом
некоторой "бухгалтерии". В первую очередь необходимо показать, что
множители Р и р\, которые возникают в соответствии с правилами 1 и 2, для
каждой диаграммы в теории можно включить в коэффициенты сх и Сг1).
Рассмотрим диаграмму общего вида с I внутренними линиями, 2от внешними
линиями и п вершинами. В точной теории эта диаграмма содержит (п-1) б-
функций, связывающих импульсы внутренних линий, а следовательно, только /
- (п - 1) интегралов по импульсам. Всего в вершинах будет сходиться 2от +
2/ линий. Теперь для этой диаграммы можно выписать все соответствующие
факторы (за исключением топологического множителя):
1. (-с{)п - по одному множителю -с{ для каждой вершины,
2. с|т+2/ - по одному множителю с2 для каждой линии, входящей в каждую
вершину,
3. Р1~п+1 - по одному множителю Р для каждого интеграла,
') Это означает, что взаимодействие 36' приводится к виду 36.- Прим.
перев.
98
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
4. (р2 + 2CjC|r) 1 - по одному пропагатору для каждой внутренней
линии.
Мы хотим оценить вклад диаграммы в соответствующий коэффициент в
разложении (6.2). Этот вклад мы должны разделить на общий множитель -с\ и
множитель с2"* (по одному множителю с2 для каждой внешней линии).
Наконец, имеется множитель, получающийся в результате масштабного
преобразования и равный
^2m?-(2т- 1) d 22т-(т-1М
