Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
стадии итерационного процесса уже закончились; тогда разность л0- г0с в
свою очередь должна быть достаточно мала, настолько, чтобы была мала
величина (г0 - гйс)Х1. Как и в гл. 4, Я- наибольшее собственное значение
линеаризованных уравнений ренормализационной группы, а показатель v
определяется по формуле
Собственное значение Я можно найти с помощью подгонки (7.7) под
результаты численного анализа итераций.
На фиг. 7.3 дана зависимость критического показателя v, вычисленного из
приближенной рекуррентной формулы (7.3),
106
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
от размерности модели d, а также указаны результат высокотемпературного
разложения для d - 3 и точное решение Он-сагера для d = 2. Полученная
кривая хорошо аппроксимируется квадратичной функцией по е = 4 - d.
Другая область применения рекуррентной формулы (7.3)- исследование е-
разложения. Мы можем вычислить е-разложе-ние для v, вытекающее из
рекуррентной формулы, с помощью численного анализа. Для 2v рекуррентная
формула приводит
к следующему разложению по е:
2v= 1 +0,167е + 0>04е2-0,016е3 + 0,077е4-
- 0,2е5 + 0,67е6 - 2,5е7 + 10,Зе8 + .. .; (7.9)
Разложение (7.9) является, в действительности, асимптотическим рядом.
Если оборвать это разложение на члене второго порядка по е, то для d = 3
получим v == 0,603. Этот результат следует сравнить с лучшим числовым
результатом, полученным из рекуррентной формулы, а именно v = 0,609.
Сохранение в (7.9) только линейного члена дает v = 0,583. Эти результаты
наводят на мысль, что в разложении (7.9) разумно ограничиться членом
порядка е2. Анализ (7.9) с помощью аппроксимантов Падё так же показывает,
что заметного улучшения полученного результата по сравнению с е2-
приближением не наступает вплоть до восьмого порядка по е, когда
разложение Падё дает немного лучшее значение величины v. Это указывает на
то, что разложение для v важно вычислить с точностью до е2 и что в
вычислении членов порядка е3 и выше особого смысла нет. Наиболее важным
результатом, полученным из рекуррентной формулы (7.3), является указание
на то, что ряд (7.9) с точностью до члена порядка е2 должен давать при е
= 1 хорошее значение величины показателя v. Трудно ожидать, что в других
отношениях этот ряд представляет собой что-либо хорошее для такой большой
величины е.
Следующий вопрос, который мы здесь обсудим, - метод вычисления е-
разложения с точностью до произвольного порядка при помощи техники
фейнмановских диаграмм. Вначале, однако, необходимо доказать некоторую
теорему, касающуюся корреляционных функций. Так как эта теорема будет
лежать в основе большей части последующих рассуждений, то оставшуюся
часть главы мы потратим на ее доказательство. Рассмотрим корреляционную
функцию, зависящую от
107
ГЛАВА 7
температуры Т и определенную для исходного гамильтониана 36о,
<?1 ,n' 1 ""<",+ ... +,"> ' 11
Полевой аналог определения (7.10)-вакуумные средние от произведений п
полей в импульсном пространстве (см. гл. 10). Мы покажем, что если все
очень малы (<g; 1) и Т " Тс, то
T(qv..., qn,T) = ldn~d~n4nA F {lqv .... lqn), (7.11) где | -
корреляционная длина, a
ds=4(d-2 + ri), (7.12)
здесь ri - критический показатель. В теории поля ds выступает как
аномальная размерность спинового поля (в единицах массы) [95, 114]. Ее мы
вычислим в следующей главе, используя диаграммы Фейнмана. Корреляционная
длина | зависит от Т - Тс, и только через этот множитель и нормирующую
постоянную и в (7.11) входит зависимость от гамильтониана 36q.
Формула (7.11) справедлива независимо от величины параметров |(длина |
велика для Т "ТС, т. е. параметры
можно сделать большими или малыми, не нарушая требований qi <С 1, Т "
Тс).
Формула (7.11) является одним из примеров "законов подобия", предложенных
несколько лет назад для критических явлений (см. обзор в работе [101]);
эта частная формула была предложена Паташинским [108]. Ни один из законов
подобия не был доказан из первых принципов для размерности 3, и ни один
из них в этой главе доказан не будет. Здесь предполагается, что
существует преобразование, которое соответствует ренормализационной
группе и имеет неподвижную точку, а вблизи нее, как это
продемонстрировано на примере приближенных уравнений из гл. 4 и 6,
обладает довольно простым видом. Доказательство, проведенное из первых
принципов, должно было бы подтвердить справедливость этого предположения.
Для получения результата (7.11) требуется применять точное уравнение для
ренормализационной группы, причем для настоящих целей удобно использовать
дифференциальную
108
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
форму преобразования ренормализационной группы. В предыдущих главах это
преобразование было дискретным и соответствовало уменьшению параметра
обрезания от А до А/2. Дифференциальное преобразование является
результатом бесконечно малого изменения параметра обрезания от А до А -
6А. Точное дифференциальное преобразование будет построено в гл. 11; для
