Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(/'*') 00) == С* (P(lm), (I’m’) (к)) С. (1)
Отсюда следует, что
(/*') (и) - ^ Q/m), (jk) ?(lm), (I’m1) 00 </*')• (2)
/, l\ m, mr
§8) КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕбША — ГОРДАНА 185
Суммирование в этой формуле распространено на такие значения I, I’, т, tn, что |4 — 4|==с/, /'=^/,4-4; — /sgwsg/; —
Принимая во внимание формулы (2) и (4) п. 2, перепишем это равенство в следующем виде:
(“)*«&•(«)= 2 С(1' l)C^l)tlmm,(4), (3)
I, т, т'
где 1 = (4, 4, /), j = (/’, k, tri), j, = (/^ k’, /я'). Суммирование в равен стве (3) распространено на значения I, tn, tn', такие, что ] 4 — 41=^
~ I /j —)— 4, - I ' ' ftl, ftl гГ^: /.
Умножим обе части равенства (3) на tl ,{и) и проинтегрируем по всей группе SU(2). В силу ортонормированности системы функций 2/ —|— 1 tlmm, (и) (см. § 6, п. 2), получаем
С (1, j') С(П) = (21 + 1) $ (а) % (и) ^00 du. (4)
Принимая во внимание выражение (5) п. 2 для матричных элементов tlа, (и) и т. д., а также выражение
du = sin 9 dQ d<p dty (5)
для инвариантной меры, получаем, что интеграл (4) отличен от нуля лишь, если у -^k=tn, / -\-k’ = т (в противном случае интегрирование по ср или ф даст нуль). Поэтому коэффициенты Клебша — Гор-дана С (4, 4. I', j, k, tn) отличны от нуля, лишь если j-\-k = tn х).
В дальнейшем будем считать, что в равенстве (4) имеем j k = т, f~\-k' = tn'. Подставляя в это равенство явные выражения матричных элементов и меры du, делая подстановку cos 0 = лг и выполняя интегрирование по ср и ф, получаем
I
с(1, лсот=j р]} (*)nv(*)*.?+„’(*)dx’ (6)
где 1 = (4, 4, I), i=(j\ k, j+k), ]' = (/, k\ y'+n
Положим в этом равенстве j' = 4 и k' = — 4- ГГо формулам (6) п. 5 § 3 и (6) п. 6 § 3 имеем
pi 1 Гу) — ‘ll ~J А Г____________n_Ar)"VJ /7ч
рпЛх) 2lt У (4-7)! (4+У)!( ( ^ }
и
sh + * /-------79711--- h + Ь h~ k
**?. -1, (*> = V У ¦(/, + i)l (4 2 (1+^ 2 • (8)
*) Этот результат можно получить также, применив к обеим частям равенства (6) п. 2 оператор Tt (и) 0 Tti (и), где а = м(ср, 0, 0). При этом
— j f ) Ф I
левая часть равенства умножится на е , а члены, содержащие ат, на
e~imf. Из линейной независимости базисов мы и получим, что в равенство (6) п. 2 входят лишь члены, для которых m—j-\-k.
186 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Кроме того, по формуле (3) п. 4 § 3
pi л[__________(l-j--kV.__________
^f + k.h-izW— 2i ¦ У (/—у —А)!(/ + 4-/,)!(/-4 + 4)! А
/+А + /а —/i Ij—li—J—k
х (1 — *Г 2 0+*) 2 х
X ^ЛТ-Д К1 — лгу - '1 + '* (1 + д:У + '* - '* ]. (9)
Подставив эти выражения в формулу (6), получим
С (/], 4, /; 4, —4, 1\ — 4) С (4, 4- 4 у, k, j-\-k) —
_ (_[)-*+'! + « (2/ + 1) /________________(2/1)!_(24)! (/ -К/.+ М______________х
— 2i+i1+i.2 +1 F (4-У)! (4+У)! (4-*)! (4 + *)!
X Im'/ - j - k)\ (/ + 4 - 4)! (/ - 4 + 4)! X
X ( (1 +xf^k^^\(\~xy^+h{x^xy+il--h\dx. (10)
-i
Чтобы найти из этого равенства С(4, 4> /; 4, —4> Л — 4), положим в нем у = 4, k = — 4:
\са i ы / / П1«— (2^+1)(-ir< + <1~i- х.
|С(4, 4, 4 4, 4, 4 h) \ ~ ~2i+ii+h + i +i2y_ х
/» jl /1 -J- / 2
X ^ (1 +Л-)2<3 -Г-lo К1 — лгу—^1+^ (1 -\-x)l+l^]dx.
Проинтегрируем по частям / — 4 ~Ь 4 Раз- Поскольку при подстановке пределов интегрирования проинтегрированные члены обращаются в нуль,
|С(4, 4, /; 4, —4, 4 —4)Г2 =
¦ 2i+i1+h+x (/ - 4 + 4)! (4 + 4 -'/)! j (1 + ^(1 ^ + dx
21 + 1 (24)!
+ 4-4! J v
— I
(2/+ 1)(24)! (24)!
(4 + 4-4! (4 + 4 + /+ 1)!
(11)
(ср. ниже формулы (1) и (3)) п. 7 § 1 главы V).
Поскольку коэффициенты Клебша—Гордана нормированы так, чтобы выполнялось неравенство С (4, 4, 1\ 4> — 4> 4 — 4) 0, то из
формулы (11) следует, что
C(l I II / / 1/ ____________________(2/ -|- 1) (24)! (24)!_ П 2'i
(4, 4, 4 4, 4, 4 4; |/ -|- /2 — (/± _|_ /3 i )| *
§8] КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША — ГОРДАНА 187
Подставив выражение (12) в формулу (10), получим
/ 1 \—
С(4> 4, /; у, к, j-\-k)= + 1 X
X У <тт
(21 + 1)(/ +J + А)! (/, + /, - /)! (/, + /, + / + 1)1
X
