Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
g = grig<fgri, (1)
где gn и gri —: параллельные переносы вдоль оси Охп на отрезки
длины Г\ и г2 соответственно, a g — вращение на угол ср в плоскости (хп, При этом движении начало координат 0(0, ..., 0)
переходит в точку М, расстояние г которой от О выражается формулой
r = Vr\-\- г| + 2г1г2 cos ср. (2)
Из равенства (1) следует, что
TiR (g) = TiR (gri) TiR (gf) TiR (g,J, (3)
поэтому
tiRo(g)= 2 tiok (gr?) tlKM (gv) tlMO (grs)- (4)
к, M
Как было показано выше, элементы tloK(gr?) и tM0(gr.2) отличны от нуля, лишь если К и М имеют вид
K=(k, 0, ..., 0), М = (т, 0, ..., 0).
iR
При этом элемент tKM(gf) отличен от нуля, лишь если k = tn. Поэтому равенство (3) принимает вид
СО
tob(g)= 2 ^OA- (gri) tlKK tep) (gr}), (5)
Л = 0
§ 3! ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 551
it? /d
Мы уже нашли выше значения toxigrJ и tKo (gr2) (см. формулы (5) и (6) п. 3). Далее (см. п. 1), матрица оператора TiR(g9) клеточно-диагональна, причем на ее главной диагонали стоят канонические матрицы неприводимых представлений группы SO (л). Поэтому tiRK{g^), где K = {k, 0, ..., 0), есть не что иное, как зональная сферическая функция представления Tnk(g) группы SO (л).
Наконец, tloo(g), g=g(a, h) зависит лишь от длины г вектора а, даваемой формулой (2). Из указанных соображений получаем
-2
(Г)
га —2
2 :2 2 2|(— X
* = 0
j га— 2 (ri) J га— 2 (rs) _ о X -------^2----------(COS?), (6)
г, 2
где, напомним,
Формула (6) аналогична доказанной в п. 1 § 4 главы IV формуле сложения для функций Бесселя.
5. Теорема умножения для функций Бесселя. Умножим обе
га — 2
части равенства (6) п. 4 на Ст2 (cos ср) sin"-2 ср и проинтегрируем по ср от 0 до тг. Принимая во внимание соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра, получим
It
^ га-_2
2 Ст2 (cos cp)sinra_2cprfcp =
— 2
2
J га — 2 (ri) ^ , „-2 fa)
(— 1)тт1Г(/г + /п —2) т + ~2~ т+~Г
— 4 л*—2 л — 2
-2-mir(iL=i\ Гщ~
где
0)
r = yrr? + r|-|-2rir2Costp. (2)
552 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ га-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
Замена переменной ср на переменную г преобразует формулу (1) к следующему виду:
Г1 + Г2
J>L=1^ га-2
с„
— (П + г
'IzzT)
S-1 1
I га — 2 m \ 2г
J Г 2
I '•l - r-2 I
п — 3
ХК^ + Гг+гН^ + Га —Г)(Г+Г! —ra)(r + ra —rj)] 2 Г dr =
_пТ(п + т-2)_(2Г1Г>)—у 2(Г1)У 2(Г2). (3)
/ ft Z \ Ш -4- - — Ш Ч-——
Заменим в полученной формуле rv г4, г соответственно на Rrx Rr%, где R^>О, и применим преобразование Фурье — Бесселя (см. формулу (3) п. 2 § 5 главы IV). Мы получим
оэ 4 га
^»-2(/?Г)У_ , n-2{RrX)J„ , га_2(/?Г,)/? 2 <//? =
О
м! Г ( 2 ) _V f rf + rl — г2 \
4я Г (n + m — 2).s \rszrj m \ 2^^ /’
если | rx — r21 < r < ri -(- r4;
(4)
О в противном случае.
Через 5 здесь обозначена площадь треугольника со сторонами гь г2, г.
6. Производящая функция для функций Бесселя. Из формул (3) и (5) п. 3 следует, что
1 га —2 п — 3 ^ , га — 2 (О
С(A-)(I -Jf*)~^= .^(K + m-2j_ (1)
2 2 ml Г ('¦——) t 2
В силу соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра (см. главу IX п. 5 § 5) отсюда вытекает, что
со J га — 2 (О п _ 2
e‘ix~ Г (i=-2) 2 г (» + Cjr (*). (2)
(1) 1
Равенство (2) можно рассматривать как производящую функцию для функций Бесселя. С его помощью можно установить ряд новых
§ 3! ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 553
свойств этих функций. Положим и равенстве (2) л;=1. Так как
