Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
556
ГРУППА ДВИЖЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XI
Таким образом, многочлены Эрмита получаются из многочленов Гегенбауэра при стремлении размерности пространства к бесконечности.
соображений. Многочлены Гегенбауэра возникают при записи матричных элементов представлений класса 1 группы SO (п) в виде интегралов по (п—1)-мерной сфере (см. п. 7 § 4 главы IX). При этом мы нормируем меру на сфере условием, что мера всей сферы равна единице. Иначе говоря, мы рассматриваем сферу такого радиуса, что обычная евклидова мера этой сферы равна единице. Несложный подсчет показывает, что этот радиус равен
Инщми словами, при увеличении п радиус сферы единичной меры воз-
2. Некоторые свойства многочленов Эрмита. Установленная выше связь многочленов Эрмита и Гегенбауэра позволяет получить с помощью предельного перехода различные свойства многочленов Эрмита. При этом следует иметь в виду, что не только сами многочлены Гегенбауэра стремятся к многочленам Эрмита, но и их производные стремятся к соответствующим производным многочлена Эрмита.
Выведем сначала дифференциальное уравнение для многочленов Эрмита. Из уравнения (3) п. 3 § 3 следует, что
и перейдем к пределу при р—у со. Мы получим дифференциальное уравнение для многочленов Эрмита:
Естественность замены t на
и
¦—pzz. в интеграле (1) видна из следующих
V Р
Из формулы Стирлинга следует, что при я—* со
в инте-
' d-CP (х) dCp, (х)
^ + /(2/> + /)С?(*) = о. (1)
Заменим здесь л: на х/У р, умножим обе части равенства на /! р 1 lf*
(2)
Точно так же из рекуррентных соотношений для многочленов Гегенбауэра вытекает, что
dH,(x) OJ„ , ч ,оч
§ 4| МНОГОЧЛЕНЫ ЗРМИТА 557
и
Hl+i (х) — 2xHt (X) + 2/Д, , (х) = 0 (4)
(ср. с формулой (2)).
Далее, из формулы (4) п. 8 § 4 главы IX следует с помощью предельного перехода, что
Л/(¦*) = (- 1)1ех^Ле'х% (5)
Аналогично из формулы (2) п. 12 § 4 главы IX, дающей пронз-подящую функцию для многочленов Гегенбауэра, получаем
ОО
2 iHu{x). (6)
k = 0
Рассмотрим теперь теорему сложения для многочленов Гегенбауэра: Cf (ху + У\ —х* t) =
Г(2р —¦ 1) V 2й (I — k)\ [Г (уэ —k)]2 (2р -\-2k — 1) ч/
— [Г(р)]« Li T(2p + l+k) А
к = О
х (1 - ху (1 -уУС?+кк (х) Cf ±ки (у) С?~2 (0. (7)
Заменим в этой формуле у на у [У р и t на t/У р, умножим обе части равенства на 1\р~1/г и перейдем к пределу прир—*со. В правой части умножим и разделим коэффициенты на
(i — k)\k\(p~\- kj~“^ (P~y)~ ^ •
Используя формулы (2) и (7) п. 1 и равенства вида
rroo)fe) =r(P + V ••• (P + k-1)’
получим после несложных преобразований формулу сложения для многочленов Эрмита:
1 к
Hdxy + У 1-хЧ)= 2 "с (У)я*(0. (8)
= о
ъГ2
В частности, при х = ±-^~ имеем
i
н‘ )= 2! ?/‘k\ а—k)\ Hlk М н>‘
' г 1 й=0
558 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ Л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
Более общая формула сложения получается путем повторного применения формулы (8):
я М^Н =------------1 у /1 A ak. ) ^
ЧК(а, a)/ (a, a//2 М If ! к’У })
1 ' ' ' ' ' Ti ¦*
где (а, х) = а1х1 апхп и (а,, а) = а\ -|- а*„.
Укажем еще следующие формулы для mhoi очленов Эрмита. Из формулы умножения для многочленов Гегенбауэра (см. п. 3 § 4 главы IX) следует, что при
^ Hi (ху + V1 — x-t) Hk (0 e r~dt = х‘ к - х1)2 Н, к(у).
(И)
Если же l<^k, этот интеграл равен нулю, В частности, при k = 0 получаем
со
^ //, (ху У1 — хЧ) е~li dt = У пх1Н[ (у). (12)
— СО .
1/ 2
Отметим частный случай этой формулы при x=L^-.
СО _
J H\^Yl'2dt=wHi(у)- (13)
—*со '
Далее из формулы (6) п. 11 § 4 главы IX следует, что если 1-\-
-\-m-\-n = 2g, где g — целое неотрицательное число, и если суще-
