Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
313
21. Предположим, что мы пытаемся представить волновую функцию. показанную штриховой кривой на рис. 23А, в виде
Ф (х) = А(х) suif(x)-, (24а)
здесь А Сл) — положительная амплитуда; f(x) — фаза, монотонно
растущая при увеличении х. Каждый раз, когда значение фазы
fix) становится равным kn (где k — целое число), волновая функция проходит через нуль. Рассмотрим изменение фазы А/ волновой функции между точками поворота
bf=f(x*)-f(xi). (24b)
Из рис. 23А следует, что изменение фазы волновой функции Слизко к (6-г Ь) л. Это наводит нас на мысль, что для волксгой функции л-го состояния изменение фазы f (х) между точками поворота будет близко X
А/„^(п+Уг) л. (24с)
вибрали выражение (24с) для удобства, чтобы ю/еть простую фор’.' л\. Более корректно было бы написать не;,ежкато для раз к, , ¦ фаз:
(я+1) я^гА/;1>ля, (24d)
в спрагедливости которого читатель легко убедится. Обращаясь
к рис. 4А, в, мы видим, что в данном случае реализуется верхний предел неравенства (24d). Для третьего возбужденного состояния на рис. 19А мы оказываемся близки к нижнему пределу. Выражение (24с) является, таким образом, некоторым приближением.
25. Постараемся теперь получить приближенное выражение для изменения фазы волновой функции в зависимости от энергии Е. Рассмотрим сначала "область, где потенциал постоянен и|равен V. В этом случае, если E>V, волновая функция имеет вид
Ф (х)=А;sin [{х—х„) р!%\\ (25а)
здесь А ~и х0 — постоянные, а импульс
p = V2m(E — V). (25b)
Сравнивая (25а) и (24а), находим
/ (х) = (х — х0) (р/%). (25с)
При смещении вправо на расстояние'^ изменение фазы оказывается равным
df = (р/%) dx = %~1V2m(E—V)dx. (25d)
Предположим, что выражение (25d) дает приближенное значение изменения фазы и в том случае, когда потенциал V(х) не постоянен и зависит от координаты х. Такое приближение выполняется тем лучше, чем медленнее меняется потенциал V(x). В таком прибли-
314
жении полное изменение фазы между точками поворота лх и .v2 равно
х2 Хг
А/ = j A-1 j dx V2т [?—V (л:)]. (25е)
Xi X,
Применим полученный результат к случаю (я+1)-го стационарного состояния с энергией Е=Еп. Полное изменение фазы тоже приближенно равно (и+1/г)я [см. (24с)], и, приравнивая выражения (25е)'и (24с), получаем
Хг
^ dx Y2т [Еп—V (л:)] « (п -f 1 /2) п%. (25f)
Xi
26. С помощью уравнения (25f) можно определить энергню Еп для (п+1)-го стационарного состояния. Прежде всего необходимо найти точки поворота хг и х2 в зависимости от энергии ?7 решив для этого уравнения
V fo) = V (х2) = Е, х2 > хг. (26а)
ОбозначимГсоответствующие решения* через'хг (Е) и х.,(Е). Затем вычислим интеграл
Хг (Е)
g(E)= ^ dx V2 т[Е—V (х) ], (26Ь)
Xi (Е)
который даст нам функцию g(E). Наконец, чтобы получить энергию Еп, решим уравнение
g(E) =¦ (п + */2) пп,, (26с)
где п — 0, 1, 2, ...
Итак, мы рассмотрели приближенный метод определения уровней энергии частицы в «потенциальной яме», пример которой показан на рис. 23А. Он известен под названием ВКБ-метода *) и во многих случаях позволяет получить весьма точные результаты. Он заведомо пригоден, если нам достаточно грубого определения уровней энергии. Рассмотренный метод основан на той же идее, что и приближение, использованное при выводе формулы (36Ь) гл. 7 для прозрачности потенциального барьера. В обоих случаях возникают интегралы одного типа.
Интересно отметить, что уравнение (25f), полученное нами на основе волновых представлений, идентично так называемым квантовым условиям Бора — Зоммерфельда в старой теории Бора. Таким образом, теперь можно понять, почему эта теория столь хорошо работает в некоторых случаях и терпит неудачу в других: уравнение (25f) не является строгим, оно приближенное.
*) По имени его авторов'Вентцеля, Крамерса и Брюллюэна (см., например: Kramers Н. A. Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung.— Zs. f. Phys., 1926, v. 39, p. 828).
315
Гармонический осциллятор. Колебательное и вращательное возбуждения молекул
27. Применим теперь наш приближенный метод к одной из наиболее важных задач о собственных значениях, а именно к задаче
об уровнях энергии одномерного гармонического осциллятора. В данном случае потенциал
