Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
311
21. Рассмотрим, как зависит в обоих случаях шредингеровская волновая функция гр (л:, t) от времени. Предположим, что в момент ^=0 эта функция идентична четвертой собственной функции, показанной на рис. 19А. Ей соответствует собственная энергия четвертого уровня Е4«—0,16В. Иными словами,
¦ф(л:, 0)=ф4 (х), (21а)
где волновая функция ф4(х) — та волновая функция, которая показана на уровне ?4 на рис. 19А и повторена на рис. 20А. Заметим, что за пределами ямы эта функция быстро стремится к нулю.
Легко получить решение задачи на рис. 19А для зависящего от времени уравнения Шредингера (ЗЬ) при начальных условиях (21а). Поскольку функция ф4 (х) является собственной функцией дифференциального оператора Шредингера, то сразу же имеем
i^(x, /) = ф4(х) exp (—\itEj%), (21b)
так как состояние iJ?(a:, t) стационарное. Теперь можно написать выражение для вероятности Р (/) того, что частица находится внутри ямы:
а
P(t)= J dx\x\>(x, t)\* = P(0). (21с)
— а
Эта вероятность не зависит от времени, что опять отражает стационарный характер волновой функции ty(x, t). Заметим, что интеграл в (21с) берется только в пределах ямы, т. е. от —а до +а.
22. Если попытаться решить ту же задачу для ситуации, показанной на рис. 20А, при тех же начальных условиях (21а), то окажется, что решение не будет иметь вида (21Ь), хотя оно к нему близко.
Действительно, получив зависящую от времени волновую функцию гр (л:, t) для задачи на рис. 20А, мы нашли бы, что вероятность Р (t) не остается постоянной, а имеет вместо (21с) следующую приближенную зависимость от времени:
+ а
P(t)= ^ dx |г|)‘(л://) |2 « Р (0) exp (—t/T), (22а)
— а
где Т — положительная постоянная, имеющая размерность времени. Подчеркиваем приближенный характер формулы (22а): она пригодна для не «слишком больших» времен t. Доказательство приведенного результата завело бы нас слишком далеко. Ограничимся поэтому лишь тем, что покажем его правдоподобность.
Результат (22а) можно интерпретировать следующим образом. Если частица в момент t=0 находится в «яме» и ее энергия близка к Е4, то она может покинуть яму. Если Т велико (случай большой ширины ямы Ь), то частица будет долго находиться в яме и мы имеем приближенно стационарное состояние. Время Т есть среднее время жизни состояния. При Ь, стремящемся к бесконечности, Т также стремится к бесконечности и состояние становится строго
312
стационарным (рис. I9A). Если b стремится к а, то время Т уменьшается и в пределе Ь=а «состояние» с энергией Et теряет свой смысл квазистационарного состояния.
Полученный результат объясняет, почему на рис. 20А уровень с энергией ?„ находится внутри непрерывного спектра: он соответствует приближенно стационарному состоянию. Такие уровни часто называют виртуальными, уровнями энергии.
Качественно результат (22а) можно понять как следствие проникновения через барьер, рассмотренного в гл. 7. Частица с энергией ?4, помещенная в яму,
'Я/4 л Ел ЗячХ 5 л
-1/4)Л
поворота
’а
Рис. 23А. Иллюстрация так называемого приближенного ВКБ-метода. Чтобы найти (n-(-l)-e состояние (т. е. п-е возбужденное состояние), подбираем такое значение энергии, чтобы между классическими точками поворота уместилось гс-И/г «полуволн». Местная (локальная) длина волны определяется полной энергией и потенциалом в данной точке. Волновая функция Ф(х) (между точками поворота) показана для шестого возбужденного состояния; над точками поворота и точками прохождения волновой функции через нуль указаны фазыл f(x). В данном случае полное изменение фазы между точками поворота удовлетворяет условию Д^(п-И/2)я=(6-И/2)л
осталась бы в ней согласно классической механике навсегда. В рамках квантовой механики дело обстоит иначе: частица может выйти с одной или другой стороны ямы. Чем шире барьер, тем дольше он удерживает частицу и тем больше время Т.
При очень больших Т частица многократно ударяется о стенки ямы и ее поведение приближенно описывается волновой функцией стационарного состояния.
23. До сих пор задача нахождения стационарных состояний каждый раз сводилась к подгонке осциллирующей волновой функции в двух классических точках поворота. Волновая функция основного состояния имеет один экстремум и ни одного нуля. Волновая функция следующего состояния обладает двумя экстремумами и однажды проходит через нуль. В общем случае волновая функция m-го состояния имеет m экстремумов и m—1 нулей. Для обозначения квантового состояния будем пользоваться квантовым числом п, равным числу нулей волновой функции. Таким образом, квантовое число основного состояния будет п=0 и n-е возбужденное состояние имеет квантовое число п. Волновая функция, отвечающая квантовому!.'числу п, имеет п+1 экстремумов, - е
Опишем "теперь приближенный метод определения уровней энергии частицы в потенциальной «яме», показанной на рис. 23А сплошной кривой. Штриховой прямой показана энергия Ев шестого возбужденного состояния, а осциллирующая штриховая кривая соответствует волновой функции этого состояния. Волновая’функция вычерчена лишь для области между точками поворота xv и хг [которые определены условиями V{хг)=У (х2)=Ев]. За пределами этого интервала волновая функция асимптотически приближается к оси X.
