Квантовая физика - Вихман Э.
Скачать (прямая ссылка):
*) В случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими стенками из этого требования следует, что волновая функция должна исчезать за пределами ямы и на ее границах, как было показано в п. 26 гл. 7.
30S
уравнение в виде
_^сР(л') = --|^[?-1/(х)]ф(х)
(11а)
и исследуем его свойства для различных значений энергии Е, рассматриваемой как параметр, т. е. для E^iVо, V_^E>V0,
0(Х)
а)
' ср(х)
в)
tfU
J
«27
Рис. 12А. Показанные на рисунке сегменты кривых иллюстрируют поведение (вещественной) волно ой функции в области, где E<V(x). В этом случае знак вто рой производной волновой функции совпадает со знаком самой функции
Рис. 13А. Показанные на рисунке сегменты кривых иллюстрируют поведение (вещественной) волновой функции в области, где Е>У(я).Знак второй производной противоположен знаку самой волновой функции. Читатель должен внимательно сравнить этот рисунок^с рис. 12А
V+^E>V_ и E>V+. Легко понять, что дифференциальное уравнение (11а) имеет решения для всех этих значений Е, но не все решения физически приемлемы.
¦-При графическом представлении комплексных (в общем случае) волновых функций возникают некоторые трудности. Есть возможность показать на графике ход модуля волновой функции. Другая возможность заключается в рассмотрении вещественных решений уравнения (11а). Мы замечаем, что если <р (х) — некоторое (комплексное) решение уравнения (11а), то ф* (х) также будет решением, если только величины Е и V(х) вещественны. Сумма [ф(х) + ф* (х)}!2
306
и разность [ср(х)—ф* (x)]!2i этих решений также будут решениями, и притом вещественными, и мы можем изобразить их на графике.
12. Рассмотрим сначала поведение"' вещественных решений в области, где Е—У(х)<;0. Из уравнения (11а) видно, что в этой области вторая производная волновой функции имеет тот же знак, что и сама функция. Отсюда следует, что если функция не проходит через нуль в этом интервале, то она должна быть обращена «выпуклостью» в сторону оси х, как показано на рис. 12А, а для двух интервалов оси х. Если же волновая функция пересекает
д
Cf(X) ф <f(X)
№ X
Рис, 14А. Поведение вещественной волновой функции в области, где E — V(x). Это весьма специальный случай, для осуществления которого необходимо, чтобы потенциал F(.v) был постоянен во всей области. Еторая производная волновой функции равна чулю. и сама функция
изображается прямой
ось х, она будет удаляться от оси по обе стороны от точки пересечения (рис. 12А, б). Волновая функция может также асимптотически приближаться к оси х слева или справа, как показано для двух интервалов оси х на рис. 12А, в.
Мы приходим к выводу, что если V(х)>Е для всех значений х, то не существует физически приемлемых решений (11а), так как при этом модуль волновой функции неограниченно растет слева или справа или с обеих сторон рассматриваемого интервала. В применении к рис. 11А такой вывод означает, что физическая система не может иметь энергии Е, меньшей W
13. Рассмотрим теперь поведение волновой функции в области, где Е—V (х)>0. В этом случае знак второй производной противоположен знаку самой волновой функции. Поэтому волновая функция должна быть обращена «вогнутостью» в сторону оси х, как показано на рис. 13А, а для двух интервалов оси х. Если волновая функция пересекает ось х, то по обе стороны от точки пересечения она будет обращена вогнутостью в сторону оси х. Это показано на рис. 13А, б, который следует сравнить с рис. 12А, б. В этих условиях волновая функция может'несколько раз пересекать ось х, и мы получаем «осциллирующую» волновую функцию, показанную на рис. 13А, в.
14. Рассмотрим, наконец, случай, когда Е—У(х)=0 во всей области. (Такая, весьма специфическая, ситуация может возникнуть лишь в том случае, когда потенциал V (х) постоянен.) Вторая производная волновой функции будет равна нулю; следовательно, первая — постоянна. Самой волновой функции соответствует прямая линия, как это показано на рис. 14А.
307
Заметим теперь, что для потенциала, показанного на рис. ПА, физически приемлемая волновая функция и ее первая производная не могут обращаться в нуль в одной и той же точке, так как в этом случае волновая функция обратилась бы в нуль всюду. Высказанное утверждение является теоремой, доказываемой в теории обычных дифференциальных уравнений. Именно вследствие такой теоремы сегменты кривых, показанных на рис. 12А, 13А и 14А, нигде не касаются оси х, хотя могут пересекать ее или асимптотически к ней приближаться.
15. Мы изучили локальное поведение волновой функции при различных значениях разности Е—V(x). Теперь рассмотрим свойства волновой функции в целом при всех значениях х для потенциала, показанного на рис. ПА. Для этого нам придется наложить на возможные решения дифференциального уравнения (11а) условия, которым должна удовлетворять физически приемлемая волновая функция.
