Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Как известно, я-мерная ортогональная матрица представляет преобразование от одной системы ортогональных осей к другой, т. е. вращение осей координат. Из ортогональности этой матрицы следует, что каждая пара осей новой системы координат ортогональна и что единица длины новых осей координат та же, что и была для старых. Группа чистых вращений содержит только преобразования от одной „правой11 системы координат к другой „правой" системе; группа вращений и отражений включает также преобразования от правой системы координат к левой и, наоборот. Последние преобразования часто называются несобственными вращениями.
Группы вращений
173
Чтобы применить наши общие результаты к непрерывным группам, мы должны прежде всего ввести параметры. Это может быть сделано только несимметричным образом, так как определенные направления в пространстве (оси координат) должны быть выделены, и даже сами оси координат не могут рассматриваться на равных основаниях. Прежде всего найдем число измерений пространства искомых параметров. Рассмотрим «-мерную вещественную ортогональную матрицу. Так как первая строка является я-мерным вектором единичной длины (ось х новой системы координат), она в силу условия а2, -=)- а-(- ... -(- а\п = 1 содержит в точности п—1 параметр. Вторая строка должна быть ортогональна первой; отсюда следует однородное линейное уравнение
ana2i~Ьа12а22••• -Ьа1ла2л = 0 Для а21, а22..........а2п, а из еди-
ничной длины вытекает a|i —(— а|2Н- • • • +а2п = Таким образом, во второй строке имеется п — 2 свободных параметров. Далее, k-я строка должна быть ортогональна всем k — 1 предшествующим строкам — отсюда следуют k — 1 однородных уравнений — и иметь единичную длину. Следовательно, она содержит п — k свободных параметров. Всего имеется
(п — 1) -(- (п — 2) -(- (п — 3) -(- . .. —[га—(п—1)] -)- G = -j я (и — 1)
свободных параметров.
2. В дальнейшем мы будем ограничиваться двумерной и трехмерными группами вращений.
Общий элемент двумерной группы чистых вращений получается путем преобразования к новой системе координат на плоскости')
х' = х cos ср -)- у sin ср, у' = —х sin ср —(— у cos ср,
где ср — угол вращения, принимающий значения от —тс до -(-те. Общий элемент группы имеет, таким образом, вид
cos ср sin ср \
(14.2)
- sin ср coscp/
Второв преобразование — переход от х'у' к х", у" путем вращения системы координат на угол ср' — приводит к произведению
coscp' slncp'\/ coscp sin ср \ / cos (ср -(- ср') sin (ср —]— ср
sin ср' coscp 'J\—sin ср coscp J у—sin (ср -(- ср') cos (ср —(—
___________ (Н.З)
') Вращение определяется как положительное, если ось х вращается к оси у так, чтобы соответствовать определению трехмерных вращений. В общем случае положительным вращением вокруг некоторой оси называется вращение правого винта, продвигающегося в положительном направлении этой оси.
Р')\ =р0/'
174
Глава 14
Соотношение (14.3) показывает, что произведение является просто вращением на угол <р + <р'.
Двумерная группа чистых вращений является абелевой, так как она имеет только один параметр. Если мы введем обозначение {ср} гл. 10 для элемента группы с параметром ср, то соотношение (14.3) может быть записано в виде
Если ср —1— ср^ не лежит между —тс и —тс, должно быть добавлено или вычтено целое число углов 2тс, чтобы угол ср-|~ср' попал в область, в которой допускается изменение параметра.
Для матрицы (14.2) угол ср является комплексной фазой собственного значения exp (± /ср). Столбцы единичной матрицы и, которая диагонализует (14.2), определяется из соотношений
с точностью до множителя с абсолютной величиной 1 (который
Таким образом, собственные векторы одни и те же для всех матриц (14.2). Поскольку двумерная группа чистых вращений является абелевой, каждый элемент образует класс сам по себе.
3. Из всякой двумерной матрицы с определителем —1 можно получить матрицу с определителем -)-1 путем умножения второй строки на —1. И, наоборот, общая ортогональная матрица с определителем — 1 получается путем изменения знаков во второй строке
Матрицы (14.2) и (14.2а), где —тс^ср^тс, образуют двумерную группу вращений и отражений. Все матрицы (14.2а) имеют собственные значения +1 и —1. Они имеют различные собственные векторы ii.i = [cos(cp/2), sin (ср/2)], й.2=[—sin (ср/2), cos (ср/2)], тогда как все матрицы (14.2) имеют все одинаковые собственные векторы, но различные собственные значения. Мы можем непосред-
{?'} • {?} = {? + ?'} =*{?} • {?'}•
(14.4)
|hJ2 + KJ2:= 1. «1.4-«L = о, ula=±iu2a
может быть выбран произвольно). Эти условия дают ии=1/|^2, и21 = —ij]/2, и]2= l/l/2, u22 = -\-ijY 2, и мы имеем
(14.2):
(14.2а)
Группы вращений
