Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Шредингер пришел к результатам, математически эквивалентным упомянутым выше, на пути, не зависимом от точки зрения Гейзенберга. Его метод имеет глубокое сходство с идеями де-Бройля. Все дальнейшее рассмотрение будет основано именно на шредин-геровском подходе.
Рассмотрим многомерное пространство с числом измерений, равным числу координат, необходимых для описания положения системы. Всякое расположение частиц системы соответствует точке в этом многомерном „конфигурационном пространстве". Эта точка будет двигаться с течением времени по кривой, которая может полностью описывать классически движение системы. Между классическим движением этой точки — изображающей точки в конфигурационном пространстве — и движением волнового пакета, также рассматриваемого в конфигурационном пространстве, имеется фундаментальное соответствие1), если только принять показатель преломления этих волн равным [2т (Е— V)]l,,/E. Здесь Е—полная энергия системы, а V — потенциальная энергия как функция пространственных координат (конфигурации).
Соответствие заключается в том обстоятельстве, что чем меньше отношение длины волны этого волнового пакета к радиусу кривизны траектории в конфигурационном пространстве, тем точнее волновой пакет будет следовать этой траектории. С другой стороны,. если волновой пакет содержит длины волн порядка классического радиуса кривизны траектории в конфигурационном пространстве, между двумя движениями возникают важные различия как следствие интерференции волн.
*) Данное изложение ближе следует идеям Шредингера, чем это
принято в настоящее время. — Прим. перев. издания 1959 г.
Элементы квантовой механики
45
Шредингер принимает, что движение изображающей точки в конфигурационном пространстве соответствует движению волн, а не классически вычисленному движению.
Если обозначить скалярную амплитуду волн через ф, волновое уравнение записывается в виде
Е-v S4( _ 1 1 (4 Зч
Е1 dt1 2ml дх\ 2m2 дх\ 2m^ дх^
где хг, х2, ..., Xj—координаты частиц рассматриваемой системы,
mv m2, ..., trif — соответствующие массы и V(xlt х2........х^) —
потенциальная энергия как функция координат отдельных частиц
•^1» *^2* • • * * %р
Полная энергия системы в явном виде входит в (4.3). С другой стороны, частота или период волн пока еще не определены. Шредингер принимает, что частота волны, связанной с движением системы, имеющей полную энергию Е, дается выражением hw = E. Поэтому он подставляет в (4.3)
ф = ф?ехр(— /-f-f). (4.4)
где ф? не зависит от t. Таким образом он получает уравнение для определения собственных значений
1 1 д2ФР 1 ' 1 <Э2ФР
?(У_?)Ф?=__^ + _1-5-+ ... +_ (4.5)
где ф?—функция пространственных координат хг, х2.............xf.
Необходимо потребовать, чтобы ф? была квадратично интегрируемой, т. е. чтобы интеграл
ОО ОО
f ... J\ф?(лг1, х2.......xf\ldxldx2 ... dxf
—ОО —оо
по всему конфигурационному пространству был конечным. В частности, ф должна обращаться в нуль на бесконечности. Значения Е, для которых возможно определение такой функции ф?, называются собственными значениями уравнения (4.5); они дают возможные значения энергии системы. Соответствующее квадратично интегрируемое решение уравнения (4.5) называется собственной функцией, принадлежащей собственному значению Е.
Уравнение (4.5) также записывается в виде
(4.5а)
46
Глава 4
где Н есть линейный оператор (i амильтониан, или оператор энергии)
Последний член означает умножение на V(Xj, х2, . ... х^).
Этот оператор преобразует одну функцию координат хи х2, . . ., xf в другую. Функция ф в (4.4) удовлетворяет соотношению
Полная энергия системы не входит в явном виде в уравнение (4.6), так что это уравнение применимо в общем случае к любому движению, независимо от энергии системы; оно называется зависящим от времени уравнением Шредингера.
Уравнения (4.5) [или (4.5а), (4.56)] и (4.6) являются основными уравнениями квантовой механики. Последнее из них определяет изменение волновой функции в конфигурационном пространстве со временем. Этому процессу, как мы увидим ниже, приписывается глубокий физический смысл; уравнение (4.5) [или (4.5а), (4.56)] представляет собой уравнение для определения частоты ш = E/h, энергии Е и периодической зависимости волновой функции ф от времени. В самом деле, (4.5а) следует из (4.6) и предположения, что
2. Кратко изложим теперь наиболее важные свойства собственных значений и собственных функций оператора (4.56). Для этой цели мы прежде всего определим скалярное произведение двух функций (р и g равенством
Все простые правила вычислений, изложенные в гл. 3, применимы к этому скалярному произведению. Так, если а1 и а2 являются числовыми константами,
