Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
из которого следует, что все Х12, Х13...Х1п обращаются в нуль.
Следовательно, всякую унитарную или эрмитову матрицу можно привести к виду (З.Е.1) с помощью унитарной матрицы. Матрица (З.Е.1) не является еще диагональной и не может быть ею, так как мы использовали существование только одного собственного
См. лемму на стр. 39,
Преобразование к главным осям
39
значения. Она, однако, больше похожа на диагональную матрицу, чем первоначальная матрица V или Н. Естественно записать (3,Е,1) в виде суперматрицы
где матрицы \1 или Hj имеют только п — 1 строк и столбцов. Мы можем преобразовать затем (З.Е.З) с помощью другой унитарной матрицы
Вышеуказанную процедуру можно применить снова, и Uj можно
Ясно, что повторение этой процедуры позволит привести матрицу V или Н к полностью диагональному виду, и таким образом теорема доказана.
Эта теорема не имеет места для симметричных или комплексно ортогональных матриц, как показывает пример на стр. 32 (вторая матрица симметрична и комплексно ортогональна). Однако она справедлива для вещественных симметричных или вещественных ортогональных' матриц, которые являются специальными случаями эрмитовых или унитарных матриц.
Лемма. Если (и.\, и.\)= 1, то может быть построена (многими различными способами) унитарная матрица, первым столбцом которой является и.\ = (ми, и21, ил1).
Сначала строим вообще некоторую матрицу с первым столбцом и.1, имеющую отличный от нуля определитель. Пусть второй
или
(З.Е.З)
где Uj имеет только п — 1 строк и столбцов. При этом матрица (З.Е. 1) принимает вид
или
(З.Е.4)
выбрать так, чтобы UtViUi или IJtHjUj имели вид
или
где V2 или Н2 имеет размерность только п — 2. Тогда utlJ+VUUi имеет вид
где
40
Глава 3
столбец этой матрицы равен v.2 = (v12, v22, vn2), третий — v.3
и т. д.:
и п «12 «13 • • «1л
И21 «22 «23 ¦ «2л
И31 «32 *>33 • ¦ «з*
“т Vn2 «„3 ¦ ¦ «лл
Тогда векторы и.\, v.2, ®.з. • • • будут линейно независимы, так как определитель не обращается в нуль. Поскольку мы хотим, чтобы они были ортогональными, используем метод Шмидта для их ортогонализации. Сначала подставим и.2 = a2iU.i-\-v.2 вместо v.2', это не изменит определителя. Затем положим
(«.ь и.2) = 0 = a2i(«.i, и.0+ (и.ь ©.г) = 021 +(и. 1. ®.г)
и определим отсюда а21. Далее, напишем а.г вместо v.z с и.з = = аз1«.1 + Лз2«.2+®.з и определим а31 и а& так, чтобы
0 = (и.1, и.3) = ац(а.и «.0 + («.ь ®.з),
0 = («.2, И-з) = 032(и.2, «-2) + («.2. ®.з).
Следуя этим путем, мы, наконец, напишем и.„ вместо v.„, причем U-n = amU.i-\-an2U.2-\- ... + an>n-i«.n-i + ®.n. и определим апЪ
ап2. апЪ.......вя,л-1 так- Чт0бы
0 = («.ь и.л) = а„1(и.1, «.i) + («.i, v.n),
0 = («.2, «.„) = а„2 (U.2, U.2) + («.2, v.„).
О = (и.л-1, и.п) — ап, n-i(u.n-l, *>.„).
Таким способом с помощью ул(л—1) чисел а мы последовательно подставляем векторы и вместо векторов v. Векторы и ортогональны и не являются нулевыми в силу линейной независимости векторов v. Допустим, например, что и.п = 0. Отсюда следует, что
dn\U.l~\-a„2U.2-\- ... +an, п-1«.л-1 + ®.л = 0.
и так как векторы а.\, и.2....ип являются линейными комбинациями векторов и.1, v.2.......v.n-i, можно выразить v.n через п— 1
этих векторов, в противоречии с их линейной независимостью.
Наконец, нормируем векторы «.2, и.3, ..., строя тем самым унитарную матрицу, первым столбцом которой является и.\.
Преобразование к главным осям
41
Этот метод ортогонализации Шмидта показывает, как построить, исходя из любой совокупности линейно независимых векторов, ортогональную нормированную систему, в которой ft-й единичный вектор является линейной комбинацией точно k исходных векторов. Если исходить из п я-мериых векторов, образующих полную систему векторов, получается полная ортогональная система.
Если унитарная матрица V или эрмитова матрица Н приведены таким способом к диагональному виду, получающиеся при этом матрицы Ас или Ай также унитарны или эрмитовы. Следовательно,
Аг/Ар =1 или Ал = А*. (3.19)
Абсолютная величина каждого собственного значения унитарной матрицы1) равна 1; собственные значения эрмитовой матрицы вещественны. Это следует непосредственно из (3.19), устанавливающего, что для собственных значений \ унитарной матрицы Xj,Xj,= l; а для эрмитовой матрицы Xft = X*. Собственные векторы матриц V и Н, являющиеся столбцами унитарной матрицы U, могут рассматриваться как ортогональные.
Вещественные ортогональные и симметричные матрицы
Наконец, рассмотрим следствия требований, чтобы V или Н были комплексно ортогональными (или симметричными) и одновременно унитарными (или эрмитовыми) матрицами. В этом случае как V, так и Н вещественны.
Из U+VU = А» мы получаем комплексно-сопряженное выражение U*+V*U* = (U*)+ VU* = А*. Так как собственные значения как корни секулярного уравнения не зависят от способа, с помощью которого матрица приведена к диагональному виду (т. е. посредством U или U*), диагональная форма Av может всегда быть записана как А*. Таким образом, числа Xlt Xj.........Хл совпадают
