Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
аПГ1 +а12Г2 + ••• +alnrn = Vl>
а21Г1 + а22Г2 + • • • + а2,/„ = V2. (35)
an\ri-JTa,i2r2-Jr ¦¦¦ -\~а-ппГп = \Гп
имеют решение. Линейная однородная система уравнений вида (3.5) может быть написана для каждого из п собственных значений Xft. Мы обозначим решения этой системы, определенные с точностью до общего постоянного множителя, через rltt, ги, rnk\ тогда получим
2 <V/A = V/ft- (3.5а)
/
Эта совокупность п чисел rlk, r2k........rnk называется собственным
вектором г.* матрицы «; собственный вектор г * принадлежит
собственному значению Xft. Уравнение (3.5а) может быть записано
в виде
*r.k = lkr.k. (3.56)
Матрица преобразует собственный вектор в вектор, отличающийся от этого собственного вектора постоянным множителем; этот множитель и есть собственное значение.
Собственные векторы г.\, г.2> .. ., г.п можно объединить в матрицу р таким образом, что r.k будет являться ft-м столбцом этой матрицы:
Р/а =(r-ft)/ = гш-
Следовательно, левая часть (3.5а) состоит из элементов с индексами (Ik) матрицы «р. Правая часть может быть также истолкована как элемент с индексами (ik) некоторой матрицы, а именно матрицы рА, где А— диагональная матрица с диагональными элементами Xj, Xj.......Хя:
^7 ft = 'JlkKk-Тогда (3.5а) запишется в виде
32
Глава 3
Далее, п2 уравнений (3.5а) можно кратко записать в форме
ар — рА, (3.6)
или
р~1яр — А, (3.6а)
если матрица р имеет обратную матрицу.
Преобразование подобия с помощью некоторой матрицы,
столбцы которой являются п собственными векторами, при-
водит исходную матрицу к диагональному виду\ диагональные элементы являются собственными значениями этой матрицы. Две матрицы, имеющие одни и те же собственные значения, всегда могут быть преобразованы друг в друга, поскольку каждая из них может быть преобразована в одну и ту же матрицу. Собственные значения являются единственными инвариантами преобразования подобия.
Это, разумеется, верно лишь в том случае, если р имеет обратную, т. е. если п векторов г.и Г-г> Г-п линейно независимы. Это, вообще говоря, имеет место, и всегда справедливо, если все собственные значения различны. Тем не менее имеются исключения, как видно, например, при рассмотрении матриц
Эти матрицы нельзя привести к диагональному виду каким-либо преобразованием типа преобразования подобия. С такими матрицами имеют дело в теории элементарных делителей; однако нет необходимости их рассматривать, поскольку мы всегда будем иметь дело с матрицами, которые могут быть приведены к диагональному виду (3.6а), например с унитарными и (или) эрмитовыми матрицами.
Условия коммутативности двух матриц весьма удобно рас* смотреть снова с точки зрения изложенной здесь теории. Если две матрицы могут быть приведены к диагональному виду с помощью одного и того же преобразования, т. е. если они имеют одинаковые собственные векторы, они коммутируютJ). Поскольку рассматриваемые матрицы являются диагональными, они, несомненно, коммутируют после того, как они подвергнуты преобразованию подобия; поэтому они должны коммутировать также и в своей первоначальной форме.
') Заметим, что собственные значения могут отличаться произволь* ным образом.
Преобразование к главным осям
33
В гл. 1 мы определили .рациональную функцию матрицы /(*)= • • • -\-ахя-\-
-\-а2я2-\-агя*-\-------
Чтобы привести / (ас) к диагональному виду, достаточно преобразовать ас к диагональному виду А = а_1«а. Тогда, согласно теореме 10 (гл. 1),
С-1/ (вС) G = ff-1 ( . . . Л_2® 2-4“ Л_1® 1 -)— й01 -)— fljвС -)—
-4- а2я2а — ... а_2А-2 -f-a^A-1 -f-
~Ь ао1 ~Ь ai^- ~Ь а2-^~2 ~Ь ••• — f (А),
причем последняя матрица диагональна. Если Xft—ft-й диагональный элемент матрицы А = (Aift) = (8iftXft), то (Xft)p есть ft-й диагональный элемент матрицы (А)р и
... a_2Xft 2 + ^_iXft 1 -4- а0 + ai^k -\~a^k + ••• ~ f Q~k)
есть ft-й диагональный элзмент /(А).
Рациональную функцию /(ас) матрицы а можно привести к диагональному виду с помощью того же преобразования, которое приводит я к диагональному виду. Диагональными элементами [собственными значениями матрицы /(ас)] являются соответствующие функции /(Xj), /(Xj), ..., /(Х„) диагональных элементов
Xlt Xg,_____ Хл матрицы я. Мы примем, что это правило имеет
место не только для рациональных функций, но и для произвольных функций F (я) от матрицы я, и будем рассматривать его в качестве определения общей функции матриц.
Специальные матрицы
