Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
‘) En' пробегает все собственные значения обычного уравнения Шредингера; индексы S и L (соответственно мультиплетное и орбитальное квантовые числа) включены в N',
Глава 23
ПРАВИЛА ОТБОРА И ПРАВИЛА ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПРИ УЧЕТЕ СПИНА
Правила отбора, правила интенсивностей и правила интервалов в теории, включающей спин, можно разделить на два класса. Правила первого класса (правила 1—4, см. ниже) следуют из соображений симметрии без каких бы то ни было предположений относительно величины спиновых сил. Эти правила как по содержанию, так и по обоснованию весьма сходны с правилами простой (бесспиновой) теории (см. гл. 18), которые связаны с инвариантностью оператора энергии относительно вращений и отражений. Для вывода правил второго класса (правила 5—7, см. ниже) одной лишь изотропности пространства недостаточно; чтобы вывести их, следует также предположить, что спиновые силы малы по сравнению с электростатическими силами простой теории, так что собственные функции и собственные значения простой теории существенно не меняются при введении спина в оператор Гамильтона.
1. Правило отбора для квантового числа полного момента совпадает с правилом отбора длят орбитального квантового числа в простой теории. При переходе, связанном с дипольным излучением, J меняется на +1 или 0 с дополнительным ограничением, что переходы между уровнями с J = О запрещены. Для дипольного излучения характерны матричные элементы векторных операторов (умножение на хх х2 -)-...+ хп и т. д.), а эти матричные элементы исчезают, если вышеупомянутые условия не выполнены.
Далее, правило отбора для четности (правило Лапорта) остается в силе, так как оператор О/ совпадает с оператором Р/ простой теории Шредингера. Все матричные элементы
(Ч7>. V/л), (ЧГЛ УДя). (ЧГЛ УДя) (23.1)
любого полярного векторного оператора обращаются в нуль, если четности wp и wp состояний ?/? и одинаковы. При инверсии осей полярный вектор сохраняет свое направление, так что его компоненты меняют знак, т. е.
0NX07X = — MX.
Правила отбора и правила интенсивностей при учете спина
317
Так как f~ wf^f и О/'Ря^we^e. из унитарности операто-
ров О/ следует, что
(Wf, УДя) = (0/^, ОЛ/,071 • ОЛ) = -»,®?(^, УДя).
Таким образом, матричные элементы (23.1) должны обращаться в нуль, если WF и WE имеют одинаковую четность. (Аналогичным образом можно показать, что матричный элемент аксиального векторного оператора равен нулю, если Wp и ЧГд имеют различную четность.)
Поскольку четность уровня основной структуры сохраняется во всех компонентах тонкой структуры, правило Лапорта применимо в равной степени ко всем компонентам уровня основной
структуры.
Если спектр состоит только из дублетных уровней с четностью w = (—1)^. как, например, в спектре всякого водородоподобного атома, из правил отбора для jaw следуют также правила отбора для L. Согласно правилу Лапорта, L может меняться только на нечетное число; разрешено изменение L на 1, но не на 3 и более, так как в этом случае j (= L ± '/г) изменялось бы на 2 или более, что ведет к запрету.
Правило, что трансформационные свойства не меняются при перестановке электронов, уже содержится в утверждении о том, что волновые функции, которые все антисимметричны, остаются антисимметричными при произвольном возмущении (не только под влиянием излучения).
2. В магнитном поле, параллельном оси Z, уровни с квантовым числом у расщепляются на 2j-\- \ зеемановских компонент. „Правильными линейными комбинациями0 для вычисления магнитной энергии как возмущения являются сами функции ?jl, как и в простой теории. Если оператор О/? применяется к функциям ЧГ?, причем R есть вращение на угол а вокруг оси Z, волновая функция ЧГ? просто умножается на elv-a. Магнитное поле полностью устраняет вырождение; в магнитном поле каждому собственному значению принадлежит только одна собственная функция.
Пусть вспомогательный оператор Н2, в который входит магнитное поле, разложен в ряд по степеням компонент напряженности поля &вх, Шу, е№/¦
H2 = (^V, + ^yVy + ?W + (^V« + ...)+.... (23.2) Тогда коэффициенты V*. Vy, Vг при первой степени должны образовывать аксиальный векторный оператор, так как само поле является аксиальным вектором, а оператор Н2 в целом должен быть скаляром. Первое приближение для энергии возмущения, обусловленной взаимодействием с магнитным полем, которое направлено по оси Z,
vX).
318
Глава 23
согласно формуле для матричных элементов векторных операторов, пропорционально [а [см. среднюю формулу (21.196)]. Поэтому расщепление в магнитном поле пропорционально первой степени напряженности поля при слабых полях, причем первоначальный уровень расщепляется на 2у—1 равноотстоящих компонент. Однако, в противоположность расщеплению в простой теории это расщепление не одинаково для всех уровней и не может быть вычислено в общем виде. Оно может быть рассчитано численно только для „нормальной связи", т. е. если выражение (22.27) является хорошим приближением для собственных функций.
